Question

我需要找到大功率的最后一位。当我得到简单的x ^ n时，我用以下方法解决了问题：pow（x，n，10）。但是当我有这样的示例时该怎么办：103171 ^（14394 ^（221515 ^（441792 ^ 507709）））？我注意到特定数字的周期性，但这还不够。恐怕我缺少一些要点。作为主函数last_digit的输入，我得到数字列表（lst），比如说[3，4，2]-这意味着我需要计算3 ^（4 ^ 2）。我要通过大约630个测试，而我只能进行大约580个测试（其中大多数是随机生成的）。这是我尝试过的代码：

CYCLES = {
    0 : [0, 0, 0, 0],
    1 : [1, 1, 1, 1],
    2 : [2, 4, 8, 6],
    3 : [3, 9, 7, 1],
    4 : [4, 6, 4, 6],
    5 : [5, 5, 5, 5],
    6 : [6, 6, 6, 6],
    7 : [7, 9, 3, 1],
    8 : [8, 4, 2, 6],
    9 : [9, 1, 9, 1]
}

def power_rec(lst):
    remainder = pow(lst[-2], lst[-1], 4)
    if len(lst) == 2:
        first_num = int(str(lst[0])[-1])
        second_num = int(str(lst[1])[-1]) 
        return CYCLES[first_num][second_num - 1]
    lst = lst[:-2] + [ remainder ]
    return power_rec(lst)

def last_digit(lst):
    if len(lst) == 2:
        return pow(lst[0], lst[1], 10)
    if lst == []:
        return 1
    if len(lst) == 1:
        return int(str(lst[0])[-1])
    return power_rec(lst)

例如我无法通过以下输入的测试：[555913、845991、261716、431426、571315、456986、461380、413475]或[2、2、101、2]。

我必须假设0 ^ 0 = 1，并且空列表的last_digit等于1。我将不胜感激任何有用的提示。

更新。 找到最短的解决方案：

def last_digit(lst):
    result = 1
    for num in lst[::-1]:
        result = pow(num, (result if result < 4 else result % 4 + 4) )

    return result % 10

Answer 1

这是一个纯粹的数学问题...

任何数字的最后一位数字都是该模10的数字。因此，您要问的是当它们是很大的指数级数时，如何减少模10的数字。

为此，您可以重复应用Euler's Theorem。它的意思是暗示要减少a ^ b模n，可以减少b模phi（n）。

因此，要降低a ^ b模10，可以先降低b模phi（10）= 4。

在这里，b的形式为c ^ d。要减少c ^ d模4，您可以从减少d模phi（4）= 2开始。这足以使这个问题变得容易。

让我们举个例子：

103171 ^（14394 ^（221515 ^（441792 ^ 507709）））取模10

首先减少（221515 ^（blahblah））模2。这很明显是1，所以我们已经到了：

103171 ^（14394 ^ 1）= 103171 ^ 14394模10

接下来，只需将14394模4减为2，就可以了：

103171 ^ 2模10

我想你可以从那里拿走它。

（更新）

我忘记了欧拉定理仅在a（基数）和n（模数）没有共同因素时适用。哎呀。

因此，当尝试减少14394 ^（blahblah）模4时，我们必须直接进行... 14394 ^（大功率）实际上可以被4整除，因此实际上是零并且正确的答案是103171 ^ 0 = 1（另一种方法也给出了，但只是靠运气。）

对于您注释中的示例（7 ^（6 ^ 21）），我们有一个类似的情况。 6 ^ 21为零（模4），因此答案为7 ^ 0 = 1。

12 ^（30 ^ 21）甚至更棘手，因为12和10不是相对质数。在这里，我们将需要计算值（mod 5）和（mod 2）并将两者结合起来。但是我开会迟到了，所以我现在不能结束：-）

寻找大功率的单位数字

1 个答案: