获得有限族有限集的随机横向

Question

我正在寻找一种算法，该算法将有限数量的集合S_1，...，S_n作为输入，并输出列表x_1，...，x_n，其中x_i属于S_i，i = 1，... ，n和所有x_i是成对不同的。注意，一般来说，设置S_i不会成对不相交。我们可以将此类列表称为家庭{S_1，...，S_n}的横向，通常是这样。

列表应随机选择，使得每个可能的列表同样可能作为输出。我不在乎会发生什么，没有这样的清单。我希望算法速度相当快，特别是在进行选择之前列举所有列表的速度太慢。

Answer 1

正如Ante观察到的那样，我们正在寻找二分匹配，但这里的难点在于找到一个随机的匹配。如果你的图表足够大，那么你可能不得不接受Jerrum和Sinclair快速混合的马尔可夫链。否则，有一个O（2 ^ n poly（n）） - 时间动态程序用于计算最大匹配（而不是用于枚举它们的O（n！） - 时间算法），您可以通过重复计数来对其进行采样。使用边缘或不匹配后的匹配数量。

Answer 2

将集合和元素的发生率表示为二分图并找到maximum cardinality bipartite matching。