Python使用dopri5绘图

Question

我的目标是绘制以下一组耦合的ODE：

odeint方法给我带来了一些问题（例如某些x_i采用了分析不会发生的负值），因此我决定使用四阶Runge-Kutta求解器。我按照这里的例子使用dopri5方法（Using adaptive step sizes with scipy.integrate.ode）：

import scipy as sp
import pylab as plt
import numpy as np
import scipy.integrate as spi

#Constants
c13 = 6.2
c14 = 1.0
c21 = 7.3
c32 = 2.4
c34 = 12.7
c42 = 5.7
c43 = 5.0

e12 = 1.5
e23 = 2.5
e24 = 2.0
e31 = 3.0
e41 = 4.8

#Time
t_end = 700
t_start = 0
t_step = 1
t_interval = sp.arange(t_start, t_end, t_step)

#Initial Condition
ic = [0.2,0.3,0.3,0.5]

def model(t,ic):
    Eqs= np.zeros((4))
    Eqs[0] = (ic[0]*(1-ic[0]*ic[0]-ic[1]*ic[1]-ic[2]*ic[2]-ic[3]*ic[3])-c21*((ic[1]*ic[1])*ic[0])+e31*((ic[2]*ic[2])*ic[0])+e41*((ic[3]*ic[3])*ic[0]))
    Eqs[1] = (ic[1]*(1-ic[0]*ic[0]-ic[1]*ic[1]-ic[2]*ic[2]-ic[3]*ic[3])+e12*((ic[0]*ic[0])*ic[1])-c32*((ic[2]*ic[2])*ic[1])-c42*((ic[3]*ic[3])*ic[1]))
    Eqs[2] = (ic[2]*(1-ic[0]*ic[0]-ic[1]*ic[1]-ic[2]*ic[2]-ic[3]*ic[3])-c13*((ic[0]*ic[0])*ic[2])+e23*((ic[1]*ic[1])*ic[2])-c43*((ic[3]*ic[3])*ic[2]))
    Eqs[3] = (ic[3]*(1-ic[0]*ic[0]-ic[1]*ic[1]-ic[2]*ic[2]-ic[3]*ic[3])-c14*((ic[0]*ic[0])*ic[3])+e24*((ic[1]*ic[1])*ic[3])-c34*((ic[2]*ic[2])*ic[3]))
    return Eqs

ode =  spi.ode(model)

ode.set_integrator('dopri5')
ode.set_initial_value(ic,t_start)
ts = []
ys = []

while ode.successful() and ode.t < t_end:
    ode.integrate(ode.t + t_step)
    ts.append(ode.t)
    ys.append(ode.y)

t = np.vstack(ts)
x1,x2,x3,x4 = np.vstack(ys).T

plt.subplot(1, 1, 1)
plt.plot(t, x1, 'r', label = 'x1')
plt.plot(t, x2, 'b', label = 'x2')
plt.plot(t, x3, 'g', label = 'x3')
plt.plot(t, x4, 'purple', label = 'x4')
plt.xlim([0,t_end])
plt.legend()
plt.ylim([-0.2,1.3])

plt.show()

产生以下图：

然而，我的情节对它们有些奇怪 - x1值似乎随机上升到1以上。因为（1,0,0,0）是动力系统的固定点，它不会使对我来说很有意义，它突然超过一个（如果尖峰显示出某种重复模式，可能会有一个原因，但它们在情节中看起来是随机的，所以我想知道这是否有更多只做数值积分而不是实际动力学）。更改参数也会改变该峰值（我尝试过的某些参数值仍然具有峰值，但它显着减少）。因此，我有两个问题：

1）导致这些尖峰出现的原因是什么？我最初的想法是，它是＆＃34; t_step＆＃34;虽然很大，所以我试着玩弄它（这引出了我的第二个问题）

2）我尝试将步长从1改为0.1。然而它产生了这个图，实际上看起来与步长为1时有很大的不同（我认为较小的步长会产生更准确的图？）在这个图中，似乎每个x_i花费在1附近的时间比如果步长是1而不是0.1，峰值的高度都是相等的 - 考虑到情节有一些实质性的差异，我怎么知道哪个图对真实系统更准确？

我正在研究的问题的真正关键是查找x3和x4之间的交互，但我想确保模拟设置正确，以便我可以获得有关x3和x4的准确结果！

Answer 1

通过Gronwall引理，“好”ODE的误差传播由指数控制，Lipschitz常数L为因子。这意味着，t时出现的任何本地错误贡献在exp(L(T-t))时被T放大（可能）。

慷慨可以使用L=10作为您的系统。在10的时间间隔内，这会给出exp(100)=2.688e+43的误差放大率，或者数值与初始值和精确解的完全解耦。

因此更加令人惊讶的是，在t=80之前，两种解决方案的相似性都保持不变。

关于理论的注释，峰值：没有任何限制变量保持在区间[0,1]内或具有一些具有相同效果的守恒量。您可以做的最好的事情是使用像V(x)=sum(x*x)这样的Ljapunov函数，然后给出限制解决方案在两个球体之间的界限。

固定点都是双曲线的，Jacobian有等级缺陷和无痕，不包括稳定的固定点。然后尖峰只是这些双曲线点的稳定和不稳定流形/轴的方向的结果。