使用dopri5进行ODE积分和随机模拟

Question

我仍然是python中的初学者，但是对于运行模拟有一些疑问（如果这是错误的发布我的问题的区域我会道歉，在这种情况下，如果有人愿意告诉我它会在哪里更适合，我很乐意移动它）。我的目标是模拟以下微分方程系统：

因为动力系统正在经历刚度，我所学习的odeint积分方法一直存在问题，所以我尝试以另一种方式整合它，即使用我听说过的dopri5方法。它似乎有效，但我注意到情节中有一些奇怪的行为。我使用的代码如下：

import scipy as sp
import pylab as plt
import numpy as np
import scipy.integrate as spi

#Constants
c13 = 6.2
c14 = 1.0
c21 = 7.3
c32 = 2.4
c34 = 12.7
c42 = 5.7
c43 = 5.0

e12 = 1.5
e23 = 2.5
e24 = 2.0
e31 = 3.0
e41 = 4.8

#Time
t_end = 300.
t_start = 0.
t_step = 1.
t_interval = sp.arange(t_start, t_end, t_step)

#Initial Condition
ic = [0.6,0.3,0.2,0.5]

#Noise
sigma1 = 0.1
sigma2 = 0.1
sigma3 = 0.1
sigma4 = 0.1

def model(t,ic):
    Eqs= np.zeros((4))
    Eqs[0] = ic[0]+(ic[0]*(1-ic[0]*ic[0]-ic[1]*ic[1]-ic[2]*ic[2]-ic[3]*ic[3])-c21*((ic[1]*ic[1])*ic[0])+e31*((ic[2]*ic[2])*ic[0])+e41*((ic[3]*ic[3])*ic[0]))
    Eqs[1] = ic[1]+(ic[1]*(1-ic[0]*ic[0]-ic[1]*ic[1]-ic[2]*ic[2]-ic[3]*ic[3])+e12*((ic[0]*ic[0])*ic[1])-c32*((ic[2]*ic[2])*ic[1])-c42*((ic[3]*ic[3])*ic[1]))
    Eqs[2] = ic[2]+(ic[2]*(1-ic[0]*ic[0]-ic[1]*ic[1]-ic[2]*ic[2]-ic[3]*ic[3])-c13*((ic[0]*ic[0])*ic[2])+e23*((ic[1]*ic[1])*ic[2])-c43*((ic[3]*ic[3])*ic[2]))
    Eqs[3] = ic[3]+(ic[3]*(1-ic[0]*ic[0]-ic[1]*ic[1]-ic[2]*ic[2]-ic[3]*ic[3])-c14*((ic[0]*ic[0])*ic[3])+e24*((ic[1]*ic[1])*ic[3])-c34*((ic[2]*ic[2])*ic[3]))
    return Eqs

ode =  spi.ode(model)
ode.set_integrator('dopri5',method='bdf')
ode.set_initial_value(ic,t_start)
ts = []
ys = []

while ode.successful() and ode.t < t_end:
    ode.integrate(ode.t + t_step)
    ts.append(ode.t)
    ys.append(ode.y)

t = np.vstack(ts)
x1,x2,x3,x4 = np.vstack(ys).T

plt.subplot(4, 1, 1)
plt.plot(t, x1, 'b')
plt.xlim([0,t_end])

plt.subplot(4, 1, 2)
plt.plot(t, x2, 'r')
plt.xlim([0,t_end])

plt.subplot(4, 1, 3)
plt.plot(t, x3, 'g')
plt.xlim([0,t_end])

plt.subplot(4, 1, 4)
plt.plot(t, x4, 'purple')
plt.xlim([0,t_end])
plt.xlabel('Time')

plt.show()

然而，情节如下：

我不明白为什么这些地块达到最大值1.4左右。我做了一些分析工作并用另一篇使用这些方程的论文交叉引用它，它应该达到的最大值是1. dopri5代码中的某些东西是否使它超过1？我也不明白为什么在每个蓝色峰值（x1）的早期出现了一些尖峰。

我的另一个问题是我想用这些方程做一些随机模拟。因此，对于这部分，我想要使用的方程是以下形式：

dx_i =（）dt + sigma_i * x_i * dW_t

其中dW_t是白噪声。但是，当我尝试修改上述等式时，例如：

Eqs[0] = ic[0]+(ic[0]*(1-ic[0]*ic[0]-ic[1]*ic[1]-ic[2]*ic[2]-ic[3]*ic[3])-c21*((ic[1]*ic[1])*ic[0])+e31*((ic[2]*ic[2])*ic[0])+e41*((ic[3]*ic[3])*ic[0]))+sigma1*ic[0]*np.random.normal(0,1)

代码无法正常运行。似乎我所写的并不是使这些方程随机化的正确方法。将随机扰动置于这些方程中的最佳方法是什么？我最近听说过一种叫做PyS3DE的东西，但我一无所知。