Question

对于二阶ODE（python中的dopri5方法），下面的代码总是会导致错误：C:\Users\MY\Anaconda3\lib\site-packages\scipy\integrate\_ode.py:1019: UserWarning: dopri5: larger nmax is needed self.messages.get(idid, 'Unexpected idid=%s' % idid))。我已经改变了参数，但似乎没有任何帮助。即使设置nsteps=100000也不起作用。有没有其他方法可以解决这个问题，而不仅仅是增加nsteps？

from scipy.integrate import ode
import numpy as np

def fun(t, y):
    return np.array([y[1], -3/t*y[1] + 7/(t**6)*y[0]])

yinit = np.array([0.01, 0.2])

dt = 0.01
t_stop = 2

solver = ode(fun).set_integrator('dopri5', nsteps=100000).set_initial_value(yinit)
solver.t = 0.001
t_RK4_sci = [0]
x_RK4_sci = [yinit]
while solver.successful() and solver.t < t_stop:
    solver.integrate(solver.t+dt, step=True)
    t_RK4_sci.append(solver.t)
    x_RK4_sci.append(solver.y)
t_RK4_sci = np.array(t_RK4_sci)
x_RK4_sci = np.array(x_RK4_sci)

Answer 1

放一个

print t,y

作为fun中的第一行，看到您的解决方案在采用非常小的步长时迅速爆炸。该日志的最后几行是

0.00100025397168 [  2.57204893e+289   6.79981963e+298]
0.00100025397168 [  2.57204893e+289   6.79981963e+298]
0.00100025397168 [  2.57204893e+289   6.79981964e+298]
0.00100025397168 [  2.57204893e+289   6.79981964e+298]
0.00100025397168 [  2.57204897e+289   6.79981974e+298]
0.00100025397168 [  2.57204899e+289               inf]
0.00100025397168 [ inf  nan]
0.00100025397168 [ nan  nan]
0.00100025397168 [ nan  nan]
0.00100025397168 [ nan  nan]
0.00100025397168 [  2.57204894e+289   6.79981966e+298]
0.00100025397168 [  2.57204894e+289               inf]
0.00100025397168 [ inf  nan]
0.00100025397168 [ nan  nan]
0.00100025397168 [ nan  nan]
0.00100025397168 [ nan  nan]
/usr/lib/python2.7/dist-packages/scipy/integrate
/_ode.py:1018: UserWarning: dopri5: step size becomes too small
  self.messages.get(idid, 'Unexpected idid=%s' % idid))

要看到它的数学方面，观察到初始Lipschitz常数在L=1e+18处。

数值积分的有用步长必须观察L*dt < 10，可能是一个较小的上限，以保持在显式方法的A-稳定区域内。
从本地错误到全局错误的放大率为(exp(L*T)-1)，其中T是积分间隔的长度。这意味着，只有L*T < 50才能获得有意义的结果，T<5e-17，T=2.5e-7。

在这些理论限制下，dopri5积分器在实践中被证明非常强大，因为它仅在t²·y'' + 3t·y' - 7/t0^4·y = 0处挽救。

对欧拉形式的扰动

(t/t0) ^ 3e6

给出了

范围内的初始增长

10^300

由于最大的双倍大约在t/t0 = 10 ^ 1e-4 = 1.00023028502 or t=0.00100023028502左右，因此在

附近超出了数值范围

10^(308/2.6e6)=1.00027280498

这是最接近数值积分拯救的地方，因此可能是真正的原因。（更好的界限给double。）

摘要

这个微分方程不仅具有极大的Lipschitz常数，因而表现不佳或僵硬，只要欧拉方程的近似可以证明，精确的解决方案增长得如此之快，超过{{1}在数值积分发生故障时的范围。也就是说，即使像隐式积分器这样的更好的方法也不会给出更好的结果。

二阶ODE dopri5 python用户警告：更大的nmax

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