Question

假设我们最初得到一组n个数字。我们需要构建一个支持Search（），Predecessor（）和Deletion（）查询的数据结构。

搜索和前置任务应该采用最坏情况O（日志处理n）时间。删除应采用摊销的O（log n）时间。允许的预先时间是O（n）。我们最初有O（n）空间。但我希望在任何阶段，如果它们是结构中的m个数字，则使用的空间应为O（m）

这个问题可以通过RBT轻松解决，但我想要一个仅使用数组的数据结构。我不想使用数组实现RBT，数据结构不应该使用任何来自树的算法。谁能想到一个这样的数据结构？

Answer 1

我可以建议某种树结构，这比RBT容易。为了简化描述，让其中的元素数量为2^k。

第一级只是数字。第二级a级有2^(k-1)个数字，就像在二叉树中一样。下一级a有2^(k-2)个数字，依此类推，直到我们只有一个数字。所以我们有一个带有2^(k+1)个节点的二叉树，父节点将包含最多的子节点值。要构建此树，我们将O(N)时间。树将消费者O(n)空间，第一级消费者n，第二个n/2，第三个n/4 ...等等，因此总空间将为n + n/2 + n/4 + ... = 2n = O(n)。例如。对于数字1,2,4,6,8,9,12,14，我们将有以下树：

 1  2  4  7  8  9 12  14 

   2    7     9     14 

      7          14

            14

要删除元素，我们需要使用二进制搜索找到它，并在列表中将它们标记为null。更新树，如果两个子NULL都将NULL放到节点上。它将采取k操作（树高）或O（log（N））。例如。我们删除了12.

 1  2  4  7  8  9 NULL(12)  14 

   2    7     9     14 

      7          14

            14

现在删除7。

 1  2  4  NUll(7)  8  9 NULL(12)  14 

   2    4            9     14 

      4                 14

            14

现在我们应该在O（log（N））中搜索或前导。通过二进制搜索在第一级找到我们的元素或它的前身。如果它不是NULL，我们得到答案。如果NULL升级，我们在这里有三个变体：

节点具有NULL值，转到上一级
节点的左子节点具有非NULL值。它小于请求的数量（由于树结构），它就是答案。
节点的值大于当时请求的数字，请更高。

使用数组在O（log n）时间内搜索和删除

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