O（n！）与O（（n + 1）！）相同吗？

Question

因为O（n ² ）与O（（n + k） ² ）相同，其中k是任何常数。因此，上述陈述可以用相同的逻辑真实吗？

例如： O（（n + 1） ² ）=＆gt; O（n ² + n + 1）=＆gt;为O（n ² ）

Answer 1

没有。 O（（n + 1）！）是O（（n + 1）n！），因此O（n）大于O（n！）。

转到big-O表示法的定义，没有常数c

(n+1)! <= c*n!

适用于任意大n。

Answer 2

请参阅Big O notation的定义。当且仅在以下情况下，这些函数在Big O意义上被认为是相同的：

存在常量M，因此：

|(n+1)!| < M |n!|

在对这种不等式进行简单的数学简化之后，你得到：

(n+1)! / n! < M

最后：

n+1 < M

对于某些n，这对所有M都是如此吗？ 不 - 您可以看到，对于您选择的任何M，会有一些n的值（例如，您总是可以选择n = M - 1），但这不是真的。因此，O((n+1)!)与O(n!)不同。

正如Nils Pipenbrinck所指出的那样，在实践中它并不重要，因为这两类问题对于n的实际价值都不易处理。