Question

我正在寻找一个有效的问题算法，对于任何N找到所有i和j，使得N = i ^ j 。

我可以按如下方式解决 O（N ^ 2），

for i=1 to N
{
 for j=1 to N
 {
  if((Power(i,j)==N)
    print(i,j)
 }
}

如果可能，我正在寻找更好的算法（或任何语言的程序）。

Answer 1

鉴于i^j=N，您可以通过双方的j来解决log的等式：
j log(i) = log(N)或j = log(N) / log(i)。因此算法变为

for i=2 to N
{
    j = log(N) / log(i)
    if((Power(i,j)==N)
       print(i,j)
}

请注意，由于浮点计算的舍入错误，您可能还需要检查j-1和j+1，但即便如此，这也是 O（n）解决方案。

此外，您需要从i=1跳过log(1) = 0，这会导致被零除错误。换句话说，N=1需要被视为特例。或者不被允许，因为N=1的解决方案是i=1和j=any value。

正如M Oehm在评论中指出的，更好的解决方案是迭代j，并使用i计算pow(n,1.0/j)。这会将时间复杂度降低到 O（logN），因为j的最大值为log2(N)。

Answer 2

这是您可以使用的方法。

让我们说你必须解决一个等式：

a^b = n         //b and n are known

您可以使用二进制搜索找到它。如果，你得到一个条件，

x^b < n and (x+1)^b > n

然后，没有对（a，b）存在a^b = n。

如果您在b的{{1}}范围内应用此方法，则应获得所有可能的对。

因此，此方法的复杂性为：O（log n * log n）

请按照以下步骤操作：

1..log(n)

此处，在算法中，function ifPower(n,b) min=1, max=n; while(min<max) mid=min + (max-min)/2 k = mid^b, l = (mid + 1)^b; if(k == n) return mid; if(l == n) return mid + 1; if(k < n && l > n) return -1; if(k < n) max = mid - 1; else min = mid + 2; //2 as we are already checking for mid+1 return -1; function findAll(n) s = log2(n) for i in range 2 to s //starting from 2 to ignore base cases, powers 0,1...you can handle them if required p = ifPower(n,i) if(b != -1) print(b,i)表示a^b而非a raised to power of b（其obvs，但只是说）

编写算法以有效地找到任何给定N的所有i和j，使得N = i ^ j

2 个答案: