如果L =P∩Q其中P是上下文无关语言（CFL）而Q是常规则L在？

Question

context free language P与regular language Q的交集，据说总是context free，但我仍然不明白为什么它是无上下文但不是常规的。

这种交集生成的语言包含PDA和DFA都接受的字符串。由于所有常规语言都是无上下文的，并且它被DFA接受，不应该是regular language？

Answer 1

字母表中所有字符串的集合是常规语言，其与该字母表中任何其他语言 L 的交互正好是 L 。

或者换句话说，不仅仅是接受哪些字符串。同样相关的是不接受哪些字符串。

Answer 2

以下引理是众所周知的。

引理2.1如果L是没有e的无上下文语言，那么Chomsky就有语法

正常

生成L的表单。

引理2.2如果L =∅且L是正则的，则L是常规语言A1的结合，...，An

，其中

每个Ai都被DFA接受，只有一个最终状态。

我们现在证明我们的主要定理。

定理2.3如果L1是无上下文语言而L2是常规语言，则L1∩L2

上下文

自由的。

证明：

我们做e∈/ L1和L2 =∅的情况。我们留给读者的所有其他情况。

ByLemma2.1wecanassumethereexistsaChomskynormalformgrammarG =（N，Σ，S，P）

表示L1。引理2.2 L2 = A1∪___∪其中每个Ai被识别的每个Ai

一个DFA

只有一个最终状态。注意

         L1 ∩L2 = L1 ∩(A1 ∪___∪An) = U(L1 ∩Ai).

                                         i=1

由于CFL在联盟下关闭（这可以使用CFG证明，所以这不是

作弊）

我们只需要显示L1与DFA识别的常规语言的交集

与

一个最终状态是CFL。设M =（Q，Σ，δ，s，{f}）为具有恰好一个最终状态的DFA。

我们为L1∩L（M）构造CFG G0 =（N0，Σ，S0，P0）。

1. 非终结符N0是三元组[p，V，r]，其中V∈N和p，r∈Q。

2. 对于P中的每个生产A→BC，对于每个p，q，r∈Q我们都有生产

[p，A，r]→[p，B，q] [q，C，r]

P0中的

。

1. 对于P中的每个生产A→σ，对于每个（p，σ，q）∈Q×Σ×Q，使得δ（p，σ）= q我们

有生产

在P0

1. S0 = [s，S，f]

[p，A，q]→σ