最小生成树以最小化成本

Question

有人可以帮我解决这个问题吗？

我们有一组道路，一组H高速公路和一组不同城市。我们还有与每条道路i相关的成本x（i）和与每条高速公路i相关的成本y（i）。我们希望建立连接城市的道路，条件是任何一对城市之间总是有路径，我们最多可以建造一条高速公路，这可能比公路便宜。

设置E和设置H是不同的，它们各自的成本是无关的。

设计一种算法来建造道路（最多只有一条高速公路），以最大限度地降低总成本。

Answer 1

所以，我们所拥有的是完全连通的边缘图。

解决方案步骤：

1. 仅查找道路的最小生成树，并将其视为最低成本。
2. 将一条高速公路添加到道路图中，再次计算最小跨越成本树。
3. 将步骤2的成本与替换成本的最低成本进行比较。
4. 删除那条路。
5. 回到第2步，然后再为每条高速公路再试一步。

  

O（nm）= m * mst_cost（n）

Answer 2

使用Prim或Kruskal构建MST：O(E log V)。

问题是最多1条公路的限制。

1。天真的方法来解决这个问题：

对于每条可能的高速公路，从头开始构建MST。

此解决方案的时间复杂度：O(H E log V)

2。备选

想法：如果你构建了一个MST，你可以使用更好的MST来优化MST，如果你有一个你以前没有考虑过的额外可用边缘。

假设新边连接(u,v)。如果使用此边，则可以删除MST中顶点u和v之间路径中最昂贵的边。您可以在O(V)时间内找到天真的路径。

使用这个想法，时间复杂度是构建初始MST O(E log V)的成本以及尝试使用每个H高速公路优化MST的时间。因此，总算法复杂度为O(E log V + H V)，这比第一种解决方案更好。

3。优化的细化

我们可以找到一种更快捷的方法，而不是使用第二种方法进行天真的路径搜索方法。一个相关问题是LCA（最低共同祖先）。解决LCA的一个好方法是使用跳转指针。首先你根目录树，然后每个顶点都有朝向根的跳跃指针（1步，2步，4步等）。预处理可能花费O(V log V)时间，找到2个顶点的LCA是{{ 1}}最坏的情况（虽然实际上O(log V)通常更好）。

找到LCA后，隐式地为您提供了顶点O(log (depth of tree))和u之间的路径。但是，要找到最昂贵的删除边缘可能会很昂贵，因为遍历路径的成本很高。

在一维问题中，可以使用范围最大查询（RMQ）。这使用段树在v时间内解决RMQ。

我们有一棵树，而不是一维空间（就像一个数组）。但是，我们可以应用相同的想法，并构建一个分段树状结构。实际上，这相当于将每条跳转指针捆绑在一起。为了找到LCA，树中的每个顶点都会有朝向根的O(log N)跳转指针。我们可以用跳跃指针捆绑我们跳过的边的最大边缘权重。添加此信息的成本与首先创建跳转指针的成本相同。因此，对LCA算法的细微改进使我们能够在log(tree depth)时间内找到顶点u和v之间路径上的最大边权重。

最后，把它放在一起，第三个解决方案的算法复杂度为O(log (depth))或等效O(E log V + H log V)。