图表的循环浏览

Question

给定带有 N 节点和 M 边缘的有向图，您需要找到图的最小成本循环浏览，即，从特定城市 X 开始，到同一城市结束。

对于以下两种情况，最有效的方法是什么：

1. 边缘没有重量
2. 加权边（第i边缘为Wi）
3. 以上两种情况，但条件是每个城市可以访问不超过一次。 （除了第一个城市）。如果这不可能，则输出为-1。

提前致谢！

Answer 1

1。边缘没有重量。

如果边缘没有成本，实际上所有电路都变得相等，其中所有成本都是0。 合理地，如果隐含地说成本实际上是最小跳数，那么满足上述条件的任何电路也是等效的。然后，问题是找到一个电路，即Hamiltonian Circuit or Hamiltonian Cycle。要在图表中找出哈密尔顿电路是NP完全的。

有 n！可能的路线。蛮力方法具有运行时复杂度O（n！），其中 n 表示边数。

现有的最佳算法之一是here，包含模拟和代码。

2。加权边（对于 边缘，W _i ）

当图形具有加权边缘时，问题变为众所周知的 TSP （Travelling Salesman Problem），这是一个NP难问题。围绕TSP复杂性，社区存在混淆。您必须区分 TSP-Optimize 和 TSP-Decide 。

TSP-Optimize是NP-hard。

TSP-Decide是NP-complete。

有关详细说明，请检查这些资源1 2。您可以在here找到讨论。

要求您实施TSP优化。

- 动态编程

Bellman-Held-Karp算法。您可以在here中找到伪代码。 运行时复杂度：O（2 ⁿ n ² ），其中 n 表示边数。

虽然存在其他解决方案技术，但采用Divide-and-Conquer或Greedy方法，它们并不是最优的。