Question

为了求解矩形线性系统Ax=b，其中A=mxn和n>m Mtlab首先执行QR分解，然后通过替换求解三角形线性系统。例如：如果A是4*6矩阵：

A =

    0.8147    0.9058    0.1270    0.9134    0.6324    0.0975
    0.2785    0.5469    0.9575    0.9649    0.1576    0.9706
    0.9572    0.4854    0.8003    0.1419    0.4218    0.9157
    0.7922    0.9595    0.6557    0.0357    0.8491    0.9340

和

解决Ax=b我们只是这样做：

x=A\b;

，解决方案是：

此计算中的以下步骤是：

A的QR分解，然后Ax=b相当于Q*R*x=b;
作为inv(Q)=Q'而R是上三角形，解决系统将返回求解R*x=b1 b1=Q'*b;

由于R是大小为6*4的上三角形，我们必须执行反向替换。知道R不是方形的，Mtlab如何进行反向替换？

我正在将此计算移植到C并成功完成它直到R * x = b1，我在后面替换时丢失了，我想找到与Matlab相同的结果

修改对于上面的矩阵A：解决Ax=b等同于解决Rx=b1其中：

R =

   -1.5117   -1.3991   -1.0952   -0.7786   -1.0819   -1.3007
         0   -0.5641   -0.2197   -0.6538   -0.2920   -0.2481
         0         0   -0.8692   -0.2077    0.1422   -0.9295
         0         0         0   -0.8426    0.2182    0.2125

和

这个系统是通过反向替换来解决的，因为R是上三角形，这在方形三角矩阵（即m = n）的情况下是直接的，但是，R不是正方形，如何Matlab执行反向替换以查找x？

Answer 1

MATLAB如何详细实现只有Mathworks知道的欠定情况！但是你可以这样做的方法如下。

A*x = b
A' = Q*R

现在，如果你看看R，你会得到一些形式

R = [R1; zeros]

其中R1是正方形。

您可以将解决方案表达为：

x = Q * [inv(R1')*b; zeros]

因为你表明你已经解决了反转方形矩阵的问题，这应该很容易：）

Answer 2

所以我不能100％确定MATLAB的功能，但我可以告诉你以下内容：

对于您的欠定矩阵A（nxm），我们可以采用A＆＃39; = QR。我们也看到A = R＆＃39; Q＆＃39;。请注意，现在，R有n个非零行。然后我们可以通过识别R＆＃39; Q＆lt; x = b，然后Q＆＃39; x = inv（R＆＃39;）* b来解决系统问题。 RHS可以通过反向替换来解决，我们称之为y。所以Q＆＃39; x = y。但Q是自我Hermitian，所以x = Qy。你有最小二乘解决方案。

在MATLAB中这样做我们得到：

>> A'*inv(A*A')*b

ans =

   -0.4256
   -0.3057
    0.3568
   -0.2745
   -0.2823
    0.4249

我在R＆＃39; \ b上面使用了反斜杠，但很清楚，你可以在自己的日常工作中替代。

我们可以通过使用A：

的伪逆来计算解决方案来验证这一点

std::cout

您可以轻松地检查这是一个有效的解决方案。这应该很容易在C中实现。

希望这会有所帮助。

Matlab如何计算欠定系统的解？

2 个答案: