O（nlogn）算法用于查找包含其他范围的范围

Question

如果您有n个范围类似于[1,4.5]的范围，那么如何在O(nlogn)时间内找到任何索引是否包含另一个索引？注意：如果[x,y]和[a,b]，x >= a将完全包含b <= y。

这似乎可以与合并排序类似地进行，您可以检查是否有任何范围在范围总量的每一半中包含另一个范围，然后比较任一半中的任何范围是否包含另一半的范围。我的问题是，我无法找到O(n)方法来完成最后一部分。我猜我会以某种方式将某些范围结合起来，但我无法想到如何。

Answer 1

这是一个简单的算法，似乎在O(nlogn)时间内运行：

首先排序 n范围的集合，使用范围的开始值，从最小到最大。如果您在此处使用合并排序，则应在O(nlogn)时间内运行。正如@Aivean指出的那样，当两个或多个范围具有相等的起始值时，需要考虑一个边缘情况。在这种情况下，此类范围应按降序顺序的范围结束值排序。

接下来沿着这组范围从最小的第一个值到最高值，并执行以下操作：

for (range r : ranges[1 to N-1]) {
    if (end value for range r+1 <= end value for range r) {
        // then range r+1 is completely contained within some previous range
        return true;
    }
}

第二步是单O(n)次传递，不会改变第一步的整体O(nlogn)运行时间。

这是一个图形说明，显示算法如何工作。范围已使用范围的开始值进行排序，从最小到最大。应该清楚的是，所有必要的是从左向右走，并按顺序比较每对范围的结束值。

1. |------|
2.  |-------|
3.    |-------|
4.    |------|
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6.                  |-------|

感谢在检查范围＃3时我们不需要检查超出范围＃2的任何东西。这样做的原因是，为了使范围＃1包含范围＃3，它必须将扩展到范围＃2之外，这意味着它已经包含范围＃2。但这意味着算法已经返回true，因此我们不需要检查这种可能性。

另请注意，范围＃3和＃4按其结束值按降序排序。这确保算法将检测范围＃4完全包含在范围＃3内。您可以颠倒范围＃3和＃4的顺序，以查看在起始值为平局的情况下可能存在问题。