Question

要查找有向图中每对顶点之间是否存在路径，我正在检查是否可以使用DFS从特定顶点访问所有顶点。问题是我必须做V DFS，其中V是顶点的数量。（V最高可达10 ^ 5）。有没有更有效的方法来做到这一点？一些伪代码或实现将是值得赞赏的。

考虑这个图：（1 - ＆gt; 3），（2 - ＆gt; 3），（3 - ＆gt; 1）

从1到2没有路径，但是从2到1（2 - > 3 - > 1）的路径。所以这意味着即使没有路径（v - ＆gt; u），每对顶点（u - > v）都有一条路径。

Answer 1

查看Tarjan的强连接组件算法。如果只存在一个强连通分量，则意味着每对顶点之间存在一条路径。

要弄清楚这一点，请对图形进行拓扑排序，然后以反向伪拓扑顺序遍历它。如果您不需要重启＆＃39;遍历这意味着，这意味着每个可能的顶点之间都存在一条路径。

Answer 2

要查找是否有单个路径访问有向图的所有顶点（可以多次访问顶点和边），那么：

找到图表的strongly connected components [SCC]。
使用单个＆＃34;伪顶点＆＃34;减少替换每个SCC的图形。并包括连接SCC的边缘。
图形现在不包含循环（因为每个循环都是SCC的一部分）所以将是一个有根的图形/树，必须有：
- 一个或多个根伪顶点（没有入站边）;
- 一个或多个叶子伪顶点（没有出站边缘;它可以同时是叶子和根顶点）;和
- 零或多个伪顶点，它们是分支的一部分（包括入站和出站边缘）。
平凡地说，每个叶子和一个分支的一部分都可以从祖先伪顶点到达（因为它们有入站边缘）但是不可能从另一个并行分支到达一个分支，所以我们只需要考虑结果graph是一个没有分支的简单路径。
计算根顶点的数量：
- 如果存在单个根伪顶点（SCC），那么该SCC中包含的任何顶点都可以到达图中的所有其他顶点;
- 如果有超过1个根伪顶点，则没有顶点具有到所有其他顶点的路径（因为您无法从不同的根到达一个根）。
如果奇异根伪顶点和每个后续后代伪顶点只有一个出站边（即没有分支），直到到达叶子，那么结果图包含一个可以到达所有顶点的路径。 / LI>
<强>实施例：

如果图形的格式为：
，则将SCC缩减为伪顶点
```
(1) -> (2) -> ... (n-1) -> (n)
```
然后有一条路径可以访问所有顶点。

如果是以下形式：
```
(1_a) --\
         +--> (2) -> ... (n-1) -> (n)
(1_b) --/
```
然后无法从(1_a)到达顶点(1_b)，反之亦然，因此没有可以到达所有顶点的路径。

类似地：
```
                    /-> (n_a)
(1) -> (2) -> ... -+
                    \-> n_b
```
然后无法从(n_a)到达顶点(n_b)，反之亦然，因此没有可以到达所有顶点的路径。

最后，如果是形式：
```
                    /-> (x_a) -\
(1) -> (2) -> ... -+            +-> ... (n-1) -> (n)
                    \-> (x_b) -/
```
然后没有可以同时到达(x_a)和(x_b)的路径。

Answer 3

我不知道为什么有些答案看起来如此不必要地复杂。实际上，您可以仅使用图的拓扑排序，并检查是否存在连接每个节点及其后续节点的边。

如何查找给定图形的每对顶点之间是否存在路径？

3 个答案: