Question

问题是

Given a graph and N sets of vertices, how to check that if the vertices 
in each set exist on a path (that may not have to be simple) in the 
graph.

例如，如果一组顶点是{A，B，C}

1) On a graph 
     A --> B --> C
   The vertices A, B and C are on a path

2) On a graph
     A ---> B ---> ...
            ^
     C -----+
   The vertices A, B and C are not on a path

3) On a graph
     A <--- B <--- ...
            |
     C <----+
   The vertices A, B and C are not on a path

4) On a graph
     A ---> X -----> B ---> C --> ...
            |               ^
            +---------------+
   The vertices A, B and C are on a path

这是一个复杂度为N *（V + E）的简单算法。

for each set S of vertices with more than 1 elements {
  initialize M that maps a vertice to another vertice it reaches;
  mark all vertices of G unvisited;
  pick and remove a vertex v from S;
  while S is not empty {
    from all unvisited node, find one vertex v' in S that v can reach;
    if v' does not exist {
      pick and remove a vertex v from S;
      continue;
    }
    M[v] = v';
    remove v' from S;
    v = v';
  }

  // Check that the relations in M forms a path 
  {
    if size[M] != size(S)-1 {
       return false;
    }
    take the vertex v in S that is not in M
    while M is not empty {
      if not exist v' s.t. M[v]' = v {
        return false;
      }
    }
    return true;
  }
}

for循环需要N步; while-loop将以最坏的情况访问所有节点/边缘，成本为V + E.

是否有任何已知算法可以解决问题？如果图表是DAG，我们可以有更好的解决方案吗？

谢谢

Answer 1

这里的无关不是一个有意义的假设，因为我们可以将每个强组件合并到一个顶点。路径也是红鲱鱼;通过一堆双节点路径，我们实际上在DAG中进行了一系列可达性查询。比O（n ²）更快地执行此操作被认为是一个难题：https://cstheory.stackexchange.com/questions/25298/dag-reachability-with-on-log-n-space-and-olog-n-time-queries。

Answer 2

您应该查看Floyd-Warshall algorithm。它将为您提供O（V ³）图中所有顶点对之间最短路径的长度。获得这些结果后，您可以进行强力深度优先遍历，以确定是否可以从一个节点转到下一个节点以及下一个节点等。这应该在O（n ⁿ）中发生其中n是当前集合中的顶点数。那么，总复杂度应该是O（V ³ + N * n ⁿ）（或类似的东西）。

n ⁿ似乎令人生畏，但如果n与V相比较小，那么在实践中它将不是一件大事。

我可以猜测，鉴于图表上的某些限制，人们可以改进。

检查所有给定顶点是否都在路径上

2 个答案: