Question

是否有一种优雅的数值稳定方式来评估完整参数范围x的以下表达式，a＆gt; = 0？

f(x,a) = sqrt(x+a) - sqrt(x)

还有任何编程语言或库提供这种功能吗？如果是，以什么名义？我现在使用上面的表达式没有具体问题，但过去曾多次遇到过这种情况，并且始终认为这个问题必须先解决！

Answer 1

是的，有！如果x和a中至少有一个为正数，则可以使用：

f(x, a) = a / (sqrt(x + a) + sqrt(x))

这是完全数值稳定的，但它本身几乎不值得图书馆功能。当然，在x = a = 0时，结果应为0。

说明：sqrt(x + a) - sqrt(x)等于(sqrt(x + a) - sqrt(x)) * (sqrt(x + a) + sqrt(x)) / (sqrt(x + a) + sqrt(x))。现在将前两个项相乘得到sqrt(x+a)^2 - sqrt(x)^2，这简化为a。

以下是一个展示稳定性的示例：原始表达式的麻烦案例是x + a和x的值非常接近（或者当a的数量远小于x时x = 1）。例如，如果a和1很小，我们知道围绕sqrt(1 + a)的泰勒展开1 + a/2 - a^2/8 + O(a^3)应该是sqrt(1 + a) - sqrt(1)，那么a/2 - a^2/8应该接近a。让我们尝试一下特定的小def f(x, a): return sqrt(x + a) - sqrt(x)选择。这是原始函数（在本例中用Python编写，但您可以将其视为伪代码）：

def g(x, a):
    if a == 0:
        return 0.0
    else:
        return a / ((sqrt(x + a) + sqrt(x))

这是稳定的版本：

x = 1

现在让我们看一下a = 2e-10和>>> a = 2e-10 >>> f(1, a) 1.000000082740371e-10 >>> g(1, a) 9.999999999500001e-11：

的结果

a/2 - a^2/8

我们应该得到的值是（达到机器精度）：a - 对于这个特定的>>> a/2 - a**2/8 9.999999999500001e-11，在IEEE 754双精度浮点数的上下文中，立方和高阶项是无关紧要的，它只提供大约16位十进制数字的精度。让我们计算一下这个值进行比较：

lvl=100 (2626 KB for nbparts) 9522 possible passwords
lvl=101 (2652 KB for nbparts) 10 K possible passwords (10604)
lvl=102 (2678 KB for nbparts) 11 K possible passwords (11805)
...
lvl=213 (5564 KB for nbparts) 956 M possible passwords (956026029)
lvl=214 (5590 KB for nbparts) 1 G possible passwords (1058500959)
lvl=215 (5616 KB for nbparts) 1 G possible passwords (1171975083)
...
lvl=400 (10426 KB for nbparts) 29926014 G possible passwords (29926014173292546)

sqrt（x + a） - sqrt（x）的数值稳定评估

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