Question

是否存在数值稳定的角平分算法？

问题如下：

给出三个向量（2维）A，B，C
找到角度B的平分线（AB和BC之间的角度）

实际上我是按照以下方式计算的：

规范化AB
规范化BC
查找（AB + CD）/ 2f（中点）
平分线是在B和中点之间经过的线路。

我的方法的问题是，当角度几乎为180°（AB几乎平行于BC）时，平分线非常不准确（当然因为中点几乎与B重合）。当前算法是如此不准确，以至于有时得到的平分线几乎与其他2个段之一平行。

是的，没有“强制转换”问题，所有计算都是在单精度浮点中完成的。

Answer 1

如果将BA旋转+ 90°并且BC旋转-90°，则可以使用角平分线保持不变。

如果情况稳定，即使BA和BC的点积为正，则使用原始公式。

如果为负数，请为BA (x,y) -> (-y,x)和BC (x,y) -> (y,-x)应用轮换，这也会使点积为正。像以前一样继续使用新的载体。

如果你试试这个，你会注意到，在矢量之间的角度-90°现在会发生平分线方向的跳跃。不可能避免这种跳跃，因为连续的平分线在两圈之后才会相同（固定BA和移动C）。

Answer 2

你可以很简单地找到二等分矢量：

∥BC∥ * BA + ∥BA∥ * BC

但是，对于ABC共线或近似，这也不会在数值上稳定。更好的方法是通过点积找到AB和BC之间的角度。

cos θ = (BA · BC) / (∥BC∥ * ∥BA∥)

即使在共线情况下也会产生正确的角度。

Answer 3

这不是小事。假设两个边缘向量是a和b：

float2 a = A - B;
float2 b = C - B;

计算点积float dp = dot( a, b )
归一化两个向量：

float2 a_norm = normalize( a );
float2 b_norm = normalize( b );

检查点积的符号位。当dp为非负数时， return normalize( a_norm + b_norm );，您就完成了。
当点积为负时，输入向量之间的角度为钝角。在这种情况下，应用朴素的公式会增加数值精度。需要另一种方式。

float2 c = normalize( a_norm - b_norm );
float dir = dot( a, rotate90( b ) );
return ( dir < 0 ) ? rotate90( c ) : rotate270( c );

请注意，-而不是+，这才是精度的保证。当a和b之间的角度大于90°时，a和-b之间的角度小于90°，长度a_norm - b_norm足够大，可以给出准确的方向。之后，我们只需要按正确的方向旋转90°即可。

P.S。将2D向量旋转90°的倍数是无损操作。这是rotate90和rotate270函数的伪代码：

float2 rotate90( float2 vec )
{
    return float2( vec.y, -vec.x );
}
float2 rotate270( float2 vec )
{
    return float2( -vec.y, vec.x );
}

Answer 4

定义：如果A和B是点，则向量（A，B）是从A点到B点的向量。

让我们说O点是我们坐标系的原点。

A点的坐标是半径 - 矢量（O，A）的相同。

设点M是平分线的中间点，所以你需要：

- 标准化向量（B，A）

- 标准化矢量（B，C）

-vector（B，M）=向量（B，A）+向量（B，C）//从B到中间点的向量

- （可选）您可以将矢量（B，M）与标量相乘以获得更长的矢量/增加B和M之间的距离

-vector（O，M）=向量（O，B）+向量（B，M）//半径向量从O到M

现在中间点M与radius-vector（O，M）具有相同的坐标。

Answer 5

执行此操作的足够简单的方法有两种格式（但其内容在其他方面相同）：

伪代码

// Move A and C to the origin for easier rotation calculations
Aprime=A-B;
Cprime=C-B;
// The counter-clockwise angle between the positive X axis to A'
angle_a = arctan(Aprime.y, Aprimet.x);
// ditto for C'
angle_c = arctan(Cprime.y, Cprime.x);
// The counter-clockwise angle from A' to C'
angle_ac = angle_c - angle_a;
// The counter-clockwise angle from the positive X axis to M'
angle_m = angle_ac/2 + angle_a;
// Construct M' which, like A' and C', is relative to the origin.
Mprime=(cos(angle_m), sin(angle_m));
// Construct M which is relative to B rather than relative to the origin.
M=Mprime+B

英语

将向量移动到原点
- A'=A-B
- B'=B
- C'=C-B
从X的正轴到A'的角度为angle_a = arctan(A_y, A_x)。
从X的正轴到C'的角度为angle_c = arctan(C_y, C_x)。
将A'到C'的逆时针角度设为angle_ac = angle_c - angle_a。
从X的正轴到M'的角度为angle_m = angle_ac/2 + angle_a。
从这个角度将M'构造为M' = (cos(angle_m), sin(angle_m))。
将M构造为M = M' + B。

向量BM将角度ABC二等分。

由于存在任意划分，因此此方法没有困难。这是一个图形计算器，以鼓励直观的解决方案：https://www.desmos.com/calculator/xwbno717da

数值稳定的角平分算法

5 个答案:

伪代码

英语