通过删除图中的节点可以形成的树数

Question

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0__1__0
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1__1__0
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   1

我们说我有一个无向图。我们有这些条件：

1. 您只能删除标记为＆＃39; 1＆＃39;的节点。

2. 删除任何节点都不能使图形成为林

我们可以删除多个节点，但必须满足上述条件。

计算上述过程可以生成的不同树（无根）的数量。请注意，没有＆＃39; root＆＃39;这里。我们只计算不同的结构。

对于上述情况，答案是4，因为：

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0     0
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1__1__0        ------> #1
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   1

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0     0
|     |        -------> #2
1__1__0


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0__1__0
|     |       ---------> #3
1     0

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0__1__0       ---------> #4
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我希望得到任何帮助或提示。

（如果图形已经是树，我们仍然可以删除节点以获取新树，但需遵守上述条件）

Answer 1

正如您已经指出的，一个天真的指数解决方案是获取1个节点的所有子集，并为每个子节点检查删除节点获得树图。两个想法如何修剪一些子集：

1. 从最小到最大逐步构建1节点子集。如果你找到一个分区图表，你就不需要检查它的任何超集。

让我表示示例A，B，C，D中的1节点：

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0__A__0
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C__B__0
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   D

删除图表的{A, B}分区。因此，显然删除{A, B, C}或{A, B, D}或{A, B, C, D}也会对图表进行分区。您不需要明确检查其中任何一个。

（除非其中一个分区图组件仅由1个节点组成。然后删除所有这些1节点组件也可以获得有效的解决方案。您可能需要将其作为特殊情况进行检查。）

1. 找到获得树的1节点子集后;然后删除任何进一步的1节点也会获得一棵树，只要图形没有被分区。

例如，通过删除A我们得到一棵树：

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0     0
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C__B__0
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   D

我们可以通过删除更多节点来生成其他树。对于这些，我们只需要通过删除它们来检查我们不要对图表进行分区。如果没有，我们可以确定图形仍然是树。在此示例中删除D说明了这个想法。

在最坏的情况下，这些优化可能不会使算法优于指数，但它们可以使其适用于相当小的输入。