找到可以从给定节点集形成的不同未标记树的公式是什么？

Question

我正在研究一个项目并遇到了一个问题。如果有人能帮我解决这个问题，我将非常感激。请看下图：

由一条线连接的两个点只产生一个图表，由单线连接的三个点也会产生一个图形，无论您如何连接点，结果都是相同的。但是，随着我们增加点数，有不同的可能性，如四点所示。

是否有计算可以从一组节点形成的未标记树的数量的公式？

Answer 1

这是非同构图计数问题。

对于一般情况，n个顶点上有2 ^（ ⁿ ₂ ）非同构图，其中（ ⁿ ₂ ）是二项式系数“n高于2”。

然而，这可能会给你一些额外的图表，具体取决于哪些图表被认为是相同的（你也不是100％清楚哪些图表适用）。

See this paper. And this article on MathWorld

编辑：如果您想要计算标记树，则只有公式为n^(n-2)。

Wikipedia.

Answer 2

正如评论中所建议的那样，您的问题可以用来确定n个顶点上未标记树的数量。请注意，这与计算标记树（其中有n ^ {n-2}）或标记图（其中有2 ^ \ binom）的问题有很大不同{N} {2}）。

Online Intecyclopedia of Integer Sequences有很多关于这个问题的好数据（包括生成序列的代码）：https://oeis.org/A000055。特别是，它给出了这些数字的生成函数A（x），这是迄今为止已知的最佳解决方案（从数学家的角度来看）：

A（x）= 1 + T（x）-T ^ 2（x）/ 2 + T（x ^ 2）/ 2，其中T（x）= x + x ^ 2 + 2x ^ 3 +。 ..

如果您不熟悉生成函数，请将其视为精心设计的多项式，其系数形成所需的序列。也就是说，此多项式中x ^ n的系数将是n个顶点上未标记树的数量。

作为最终的插件，您可能会发现此参考有用：http://austinmohr.com/work/trees。它为最多十个顶点的树提供了一些计数和图像。