Question

给出从1到N的正整数，其中 N可以达到10 ^ 9 。缺少来自这些给定整数的一些K个整数。 K最多可以是10 ^ 5个元素。我需要找到能够以有效的方式从剩余的N-K元素中形成的最小总和。

实施例;假设我们有N = 5，这意味着我们有{1,2,3,4,5}并且让K = 2而缺少的元素是：{3,5}那么剩下的数组现在是{1,2,4}最小值不能从这些剩余元素形成的总和为8，因为：

1=1
2=2
3=1+2
4=4
5=1+4
6=2+4
7=1+2+4

那么如何找到这个不可归小的最小值？

如果我可以通过这种方法存储所有剩余的元素，我知道如何找到它：

我们可以使用类似于Eratosthenes筛子的东西，用于寻找素数。同样的想法，但为不同的目的有不同的规则。

将数字从0存储到所有数字的总和，并交叉关闭0.
然后一次取一个号码，无需更换。
当我们取数字Y时，然后将每个Y加上一些先前交叉的数字交叉。
当我们为剩下的每个号码完成此操作时，最小的未划线号码就是我们的答案。

但是，它的空间要求很高。有没有更好更快的方法呢？

Answer 1

这是一个O（sort（K）） - 时间算法。

设1≤x₁≤x₂≤...≤x_m是缺少的整数集合。对于从0到m的所有i，让y _i = x ₁ + x ₂ + ... + x _i是第一个i项的部分和。如果存在，则令j为最小索引，使得y _j + 1＆lt; X <子> J + 1 ;否则，让j = m。可以通过归纳显示不能做出的最小和是y _j + 1（假设是，对于从0到j的所有i，数字x ₁，x ₂，...，x _i可以使所有的总和从0到y _i而没有其他的总和。

为了处理指定缺失数字的事实，有一个优化可以在恒定时间内处理多个连续数字。我将它留作练习。

Answer 2

设X为初始化为零的位向量。对于每个数字Ni，设置X =（X | X <＆lt;＆lt; Ni）|你。（即你可以制作Ni，你可以增加你以前可以通过Ni制作的任何价值。）

这将为您可以制作的每个值设置一个“1”。

N的运行时间是线性的，并且bitvector操作很快。

process 1: X = 00000001
process 2: X = (00000001 | 00000001 << 2) | (00000010) = 00000111
process 4: X = (00000111 | 00000111 << 4) | (00001000) = 01111111

你不能做的第一个号码是8.

Answer 3

这是我的O（K lg K）方法。由于懒惰溢出，我没有对它进行过多测试，对不起。如果它适合你，我可以解释这个想法：

const int MAXK = 100003;

int n, k;
int a[MAXK];

long long sum(long long a, long long b) { // sum of elements from a to b
  return max(0ll, b * (b + 1) / 2 - a * (a - 1) / 2);
}

void answer(long long ans) {
  cout << ans << endl;
  exit(0);
}

int main() 
{
    cin >> n >> k;
  for (int i = 1; i <= k; ++i) {
    cin >> a[i];
  }

  a[0] = 0;
  a[k+1] = n+1;

  sort(a, a+k+2);

  long long ans = 0;
  for (int i = 1; i <= k+1; ++i) {
    // interval of existing numbers [lo, hi]
    int lo = a[i-1] + 1;
    int hi = a[i] - 1;

    if (lo <= hi && lo > ans + 1)
      break;

    ans += sum(lo, hi);
  }

  answer(ans + 1);
}

编辑：好的，感谢上帝@DavidEisenstat在他的回答中写下了我使用的方法的描述，所以我不必写它。基本上，他提到的练习并不是一个接一个地添加“现有数字”，而是同时进行。在此之前，您只需要检查其中一些是否打破了不变量，这可以使用二进制搜索来完成。希望它有所帮助。

EDIT2 ：正如@DavidEisenstat在评论中指出的那样，不需要二进制搜索，因为只有现有数字的每个区间中的第一个数字才能打破不变量。相应地修改了代码。

找出无法形成的最小金额

3 个答案: