Question

在Haskell上，大多数数字类型都是原生数据 - Int，Float，Word32等。还有一种仅使用ADT的一元自然数的流行表示 - 即Peano编码：

data Nat = Succ Nat | Zero

该数据类型虽然优雅，但效率不高。乘法，取幂，一元数除法是不切实际的。我的问题是：如果我们没有依赖本机类型，那么数字的最有效表示 - 自然，整数，压缩，复杂等等 - 在纯粹的功能中像哈斯克尔这样的语言？数据类型和各自的算法是什么样的？

Answer 1

当提到Haskell和ghc时，左派已经评论了关于术语“最有效”的歧义。如果您真正要问的是，“在支持它们的语言中，使用ADT（代数数据类型）的数字编码效率会更高吗？”，那么我会指向Basics chapter in Software Foundations，其中你可以练习定义自然数的二进制表示。

书中的一句话：

练习：3星（二进制）

考虑一种不同的，更有效的自然数表示   使用二元而不是一元系统。也就是说，而不是说   每个自然数是零或自然的后继   数字，我们可以说每个二进制数都是


零，

二进制数的两倍，

或二进制数的两倍以上。


（a）首先，写一个bin对应类型的归纳定义   对二进制数的描述。

（提示：回想一下nat的定义，
Inductive nat : Type :=
  | O : nat
  | S : nat → nat.

Answer 2

这在很大程度上取决于您想要对数字做什么，以及效率最高的是什么意思。

如果要表示自然数 n ，则需要 log n 位信息。并且由于ADT只能有有限多个不同的构造函数，因此它会编码有限数量的位，因此您需要具有至少 log n 节点的结构。

我非常推荐Chris Okasaki的Functional Data Structures章节数字表示（论文可在线获取here）。它描述了各种树状数据结构，支持不同的操作集，以及它们与自然数的关系。以下所有内容都是我从本书中学到的。

扩展Cirdec的评论：您可以定义

data N = Zero | Positive
data Positive = One | Add Positive Positive

这为您提供 O（1）加法并减去1。另一方面，结构的大小将是 O（n）。

您可以使用带有 O（log n）空间的二进制表示，但是添加将是 O（log n）：

data N = Zero | Positive
data Positive = One | Twice Positive | TwicePlusOne Positive

增量和减量几乎为amortized O（1）。只有每个 2 ^ d 操作的增量序列才会深入 d ，所以平均来说，每个增量都是 O（1）。同样适用于decerements。我上面说几乎，因为如果你交换增量和减量，那么你可以在 O（log n）递增和递减操作之间切换。解决方案是添加一些冗余：

data N = Zero | Positive
data Positive = One | Twice Positive | TwicePlusOne Positive | TwicePlusTwo Positive

现在每次操作需要更深一层时，它会使当前节点保持在TwicePlusOne，这意味着影响节点的下一个操作将停在它上面，无论它是增量还是减量。

如果你想要恒定时间添加，可以为此扩展数据结构（在书中查找有效连接列表），但是你可以再次结束如果操作顺序不好，则使用 O（n）内存。有一个开放的SO问题How can natural numbers be represented to offer constant time addition?询问是否可以同时获得这两个问题。

Answer 3

正如@Cirdec已经评论过的那样，这个问题在编程语言方面没有意义。只有特定的编程问题才有意义。

例如，如果您需要确切的数字，您可能希望将有理数表示为连续分数。其中OTOH可能不适合记账。

没有原生类型的数字最有效的表示是什么？

3 个答案: