Question

我们有一组数字A = {X1，X2，...，Xn}以及确定A组元素的所有可能总和的最有效算法是什么？可能是效率相似的算法很少。我宁愿不希望他们使用非常复杂的图书馆，也不希望他们使用那种数学。

我更喜欢伪代码，Java或C ++的解决方案

PS。当我说有效时，我的意思是算法的共同效率，当然不是执行算法风格的效率。

Answer 1

在设计算法之前需要考虑一些因素。我将首先对集合中的元素范围和集合的大小做一些假设。

首先让我们说数字是 A = {X1，X2，X3，...，Xn} ，它们在 Min＆lt; = Xi的范围内＆lt; = Max 。通过这个前提，最大总可能总和将是 SUM = X1 + X2 + C3 + ... + Xn 。

在这种情况下，我将从大小为SUM + 1的数组 possibleSums 开始。该数组分别表示特定和是否可能为0或1。因此，如果从给定集合中可以说14是可能的话，那么possibleSums [14]将具有值1，而如果假设87不可能作为来自任何子集的总和那么possibleSums [87]将为0.因为0总是可以通过选择一个空子集，所以我将从初始化 possibleSums [0] = 1 开始。

之后我遍历数组的每个元素 Xi ，并且对于每个 possibleSums [i] == 1 ，我将设置 possibleSums [i + Xi] ] = 1 。这很清楚，因为如果可以说从前面的元素可以得到13，那么通过添加下一个元素3,15也是可能的。

以下是C ++中的代码：

// Sum  = X1 + X2 + X3 + ... Xn

bool possibleSums[ Sum + 1 ];

void findAllPossibleSums( int X[ N ] )
{
  // Because in an empty subset sum is 0
  possibleSums[ 0 ] = true;

  for( int i = 0; i < N; i++ )
  {
    /* Now minimum start sum when X[ i ] is included will be X[ i ] and of course maximum sum will be SUM
    */
    for( int j = SUM; j >= X[ i ]; j-- )
    {
      // If sum = j - X[ i ] is possible then sum j is also possible
      if( possibleSums[ j - X[ i ] ] )
      {
       possibleSums[ j ] = true;
      }
    }
  }
  for( int i = 0; i < SUM; i++ )
  {
    // Print the possible sums or whatever you want
    if( possibleSums[ i ] )
      cout << i <<"\n"; 
  }
}

在最坏的情况下，上述算法的复杂性是：

O（Max * n * n）及时

空间

O（Max * n）

但是，通过使用（Max * n）位来存储possibleSums而不是数组，可以减少空间复杂性。

让我们分析一些情况的复杂性（假设使用位实现了可能的Sums）：

对于Max = 100和n = 10 ^ 6，它的时间达到10 ^ 10次计算量很大。

另一种解决这个问题的方法就是暴力，我在其中调用索引i和内部的递归方法，因为有两种可能性（添加数字或保留它），我曾经添加并调用递归，然后第二次我调用递归而不添加它。这具有 O（2 ^ n）的复杂性。

问题实际上是着名的Subset Sum Problem的变体，它存在于NP-complete类问题中。请参考wiki链接以参考一些可以通过伪多项式时间算法求解的特殊情况。上述案例或其他特殊情况可能适用于您的使用。

什么是确定某些数字的所有可能总和的最有效算法

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