Question

所以，我现在正在学习Haskell，我想确认或揭穿我对monoid的理解。

我从阅读CIS194课程中得到的结论是，monoid基本上是＆＃34; API＆＃34;用于在自定义集上定义自定义二进制操作。

我比较多地告诉自己，我偶然发现了大量令人困惑的教程，试图澄清这个问题，所以我不再那么肯定了。

我有不错的数学背景，但我对所有的比喻感到困惑，并且寻找明确的是/否回答我对monoid的理解。

Answer 1

From Wikipedia：

在抽象代数中，数学的一个分支，monoid是一个代数结构，具有单个关联二元运算和一个恒等元素。

我认为你的理解是正确的。从编程的角度来看，Monoid是一个具有两种＆＃34;方法的接口。必须实施。

您的描述中似乎唯一缺少的是＆＃34;身份＆＃34;，没有它，您将描述Semigroup。

任何有＆＃34;零＆＃34;或者＆＃34;空＆＃34;并且组合两个值的方法可以是Monoid。需要注意的一点是，可以通过多种方式将一个集合/类型设置为Monoid，例如通过带有addition的{{1}}或带有0的{{1}}身份multiplication。

Answer 2

来自Wolfram的

：

monoid是一个在关联二元运算下关闭的集合，在S中具有一个标识元素I，对于S中的所有a，Ia = aI = a。

来自Wiki：

在抽象代数中，数学的一个分支，monoid是一个代数结构，具有单个关联二元运算和一个恒等元素。

所以你的直觉或多或少是正确的。

您应该记住，没有为＆＃34;自定义设置定义＆＃34;在Haskell但是一种类型。区别很小（因为类型理论中的类型与集合论中的集合非常相似），但是您可以定义Monoid实例的类型不必是表示数学集的类型。

换句话说：类型描述了该类型的所有值的集合。 Monoid是一个＆＃34;界面＆＃34;声明声称遵守该接口的任何类型必须提供一个标识值，一个二进制操作组合该类型的两个值，并且这些方程应满足一些方程式，以便所有通用的Monoid操作按预期工作（例如幺半群值列表的一般求和）并且不会产生不合逻辑/不一致的结果。

另请注意，如果类型是Monoid类的实例，则需要在该集合（类型）中存在标识元素。

例如，自然数在两个加法项下形成一个Monoid（identity = 0）：

0 + n = n
n + 0 = n

以及乘法（identity = 1）：

1 * n = n
n * 1 = n

还列出了++（身份= []）下的幺半群：

[] ++ xs = xs
xs ++ [] = xs

同样，a -> a类型的函数在组合下形成一个monoid（identity = id）

id . f = f
f . id = f

因此，重要的是要记住，Monoid不是关于表示集合的类型，而是关于作为集合查看的类型，可以这么说。

作为一个错误构造的Monoid实例的例子，请考虑：

import Data.Monoid

newtype MyInt = MyInt Int deriving Show

instance Monoid MyInt where
  mempty = MyInt 0
  mappend (MyInt a) (MyInt b) = MyInt (a * b)

如果您现在尝试mconcat MyInt值列表，那么您将始终获得MyInt 0因为身份值0和二进制操作*不能在一起玩得很好：

λ> mconcat [MyInt 1, MyInt 2]
MyInt 0

Answer 3

在基本级别，你是对的 - 它只是我们用<>表示的二元运算符的API。

然而，monoid概念的价值在于它与其他类型和类的关系。在文化方面，我们认为<>是加入/追加两种相同类型的东西的自然方式。

考虑这个例子：

{-# LANGUAGE OverloadedStrings #-}

import Data.Monoid

greet x = "Hello, " <> x

函数greet极其多态 - x可以是String，ByteString或Text，仅举几个可能性。而且，在每种情况下，它基本上都是你所期望的 - 它将x附加到字符串`＆＃34; Hello，＆＃34;。

此外，有许多算法可用于任何可以累积的算法，这些算法适用于Monoid的推广。例如，考虑foldMap类中的Foldable函数：

foldMap ::  Monoid m => (a -> m) -> t a -> m

foldMap不仅概括了折叠结构的想法，而且我可以通过替换正确的Monoid实例来概括如何执行累积。

如果我有一个包含Ints的可折叠结构t，我可以使用foldMap和Sum monoid来获取Ints的总和，或者使用Product来获取产品等

最后，使用<>可以提供方便。例如，有大量不同的Set实现，但对于所有这些实现s <> t始终是两个集合s和t（相同类型）的并集。这使我能够编写与该集合的底层实现无关的代码，从而简化了我的代码。对于许多其他数据结构也可以这样说，例如，序列，树木，地图，优先级队列等。

我对monoid的理解是否有效？

3 个答案: