Question

我试图找到以下重现关系的大O界限：

T(n) = T(n-1) + n^c, where c >= 1 is a constant

所以我决定通过迭代来解决这个问题：

T(n) = T(n-1) + n^c
T(n-1) = T(n-2) + (n-1)^c
T(n) = T(n-2) + n^c + (n-1)^c
T(n-2) = T(n-3) + (n-2)^c
T(n) = T(n-3) + n^c + (n-1)^c + (n-2)^c
T(n) = T(n-k) + n^c + (n-1)^c + .... + (n-k+1)^c

Suppose k = n-1, then:

T(n) = T(1) + n^c + (n-1)^c + (n-n+1+1)^c
T(n) = n^c + (n-1)^c + 2^c + 1

我不确定这是否正确，而且我非常感谢有关如何从中获取Big O的一些指导。非常感谢！

Answer 1

你所拥有的不正确，但你走在正确的轨道上。

你犯的错误：

T(n) = T(n-3) + n^c + (n-1)^c + (n-2)^c    
T(n) = T(n-k) + n^c + (n-1)^c + (n-k+1)^c

你不能只从第一行到第二行。

当您增加k时，右侧的术语数量也会增加。

要想到这样写的想法：

T(n) - T(n-1)  = n^c.

T(n-1) - T(n-2) = (n-1)^c
..

T(n-k) - T(n-k-1) = (n-k)^c.

..
T(2) - T(1) = 2^c

如果你添加它们会发生什么？

一旦你这样做，你能看到c = 1和c = 2的答案是什么？你能从那里找出最终答案的模式吗？

Answer 2

是的，你是对的：

T（n）= n ^c +（n-1）^c +（n-2）^c + ... + 3 < sup> c + 2 ^c + 1，

这个总和是

T（n）= O（n ^{c + 1}）。参见例如Faulhaber's formula。事实上，你甚至可以确定领先项中的常数（即使它与算法的渐近线没有密切关系）：总和是n ^{c + 1} /（c + 1）+ O（^c），您可以通过例如使用整合来确定。

Answer 3

而不是从n开始工作，如何从0开始向上工作（我假设递归终止于0并且你将该位移出）。当你开始注意到一个固定点（即在所有情况下重复相同的模式）时，你有一个很好的候选答案。尝试证明答案，例如通过归纳法。

Answer 4

我首先观察n ^ c，当然受n值的影响，对n和n + 1来说不会更复杂 - 它决定了那个特定的“运行时间”术语。鉴于此，您可以假设（至少我会）该术语具有常量运行时并确定递归将对给定n执行多少次，并且您将得到您的约束。

Answer 5

要想出这些，请填写几个术语并寻找模式：

T（1）= 0 + 1 ^ c

T（2）= T（1）+ 2 ^ c = 0 + 1 ^ c + 2 ^ c

T（3）= T（2）+ 3 ^ c = 0 + 1 ^ c + 2 ^ c + 3 ^ c

T（4）= ...

现在用n表示模式，你有答案。

Answer 6

这是：

T(n) = n^c + (n-1)^c + (n-2)^c + ... + 2^c + 1^c
     < n^c +     n^c +     n^c + ... + n^c + n^c
     = n * n^c
     = n^(c+1)

是O（n ^{c + 1}）。

要显示这是一个合理的界限，请注意c = 1，

T(n) = n + (n-1) + (n-2) + ... + 2 + 1
     = n * (n-1) / 2

显然是Θ（n ²）。

递归关系：寻找大O.

6 个答案: