如何找到与多边形相交的光线最少时间？

Question

设P是一个简单但不一定是凸的多边形，q是任意的 点不一定在P.

设计一种有效的算法来查找源自q的线段，该线段与P的最小边数相交。

Answer 1

如果q是您在2D空间中的要点，我们可以写q(x,y)。我们知道多面体有边（E），顶点（V）和面（F），所有这些术语都与欧拉定理中的公式V - E + F = 2有关，但问题变得更容易了，因为它用于多边形。

所以平原是找到一条边并计算点q(x,y)到边缘中心的方向向量，这样做（如果多边形是凸的）我们确定这个线段只会经历了P的一个边缘。

计算需要一点线性代数，但并不困难，例如：

1 - 找到从一条线到一个点的距离（这样我们就可以找到在这个问题中使用的最近边缘）：

2 - 另外，一个好主意是找到最接近(x0,y0)的这一行上的点有坐标：

行的等式为ax + by + c = 0且(x0,y0)为任意点，不一定在P中。

所以，现在我们可以在最接近初始点k(x,y)的行上找到点q(x0,y0)，执行|q-k| = d。其中d是我们计算的距离。之后，您已经拥有了找到源自q的线段所需的一切，该线段与P的最小边数相交。

您可以在这些地方学习并找到有关此主题的更多信息：

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Answer 2

考虑在地图上执行此操作，以便您可以考虑北，南，东，西和方位等方向。

如果你的光线从q out到无穷大的特定方向，它是否与点A和B之间的线相交只取决于光线的方位，以及从q到A和B的方位：如果光线的轴承在轴承从q到A和轴承从q到B的范围内，在线的方向上，然后光线将与线相交。

所以你可以把它减少到一个更简单的问题。想象一下，所有的点都在q周围的圆圈中，并且线条是这个圆圈的弧线。现在你需要在这个圆上找到一个与最小弧数重叠的点。如果将每个跨越0度的弧线分成两个0，切割例如，您也将使生活变得更加容易。弧度从320度到40度，从320度到360度= 0度，一个从0度到40度。

这个好的候选点是圆圈中每个点的顺时针点。现在命令每个弧从低角度到高角度，按小角度对弧进行排序，然后按顺序进行处理，当看到弧的开始时递增计数器，当看到弧时开始递减计数器。弧的结束（你不必担心绕过0 = 360度的弧，因为你刚刚确定没有任何弧）。您要查找的点是与计数器的最小值相关联的点。

Answer 3

以q作为坐标的原点，计算顶点的极坐标参数。这是在线性时间内完成的。

然后每个边缘跨越一个角度间隔。要处理环绕，您可以拆分跨越360°边界的间隔。

您在1D间隔重叠的实例中解决了问题。这在O(N Log(N))时间内很容易解决。