Question

我们有一条光线从点A(X, Y)开始，并在给定的点B(X, Y) != A下永远持续下去。我们有一个由点K,L,M,N定义的矩形，每个点都有(X, Y)。

我想知道如何检测我们的光线是否与矩形的任何点相交（得到bool，而不是精确坐标）？什么是计算这样的值的算法？

Answer 1

让我直截了当。您有一个向导v朝(b_x - a_x, b_y - a_y)方向前进，从(a_x, a_y)开始。

考虑向量w = (b_y - a_y, a_x - b_x)。它与第一个成直角。（使用点积进行验证。）因此，对于任何点(p_x, p_y)，您可以通过(p_x - a_x, p_y - a_y)和w的点积来查看它所在的矢量的哪一侧并查看登录。

因此，将该点积与矩形的所有四个角一起使用。如果任何给出一个0点积，它们就在矢量上，如果符号改变就有一个交点，如果符号总是相同则没有交点。

Answer 2

您可以使用扫描线算法来执行此操作。

http://en.wikipedia.org/wiki/Sweep_line_algorithm

Answer 3

您可能想要计算与矩形相交的光线AB的线段（如果有）。如果您的矩形是轴对齐的，那么从数字意义上来说这将更容易计算，但逻辑应该是相似的。

您可以将有向行L表示为[a, b, c]，以便点P为(X, Y)：

let L(P) =  a*X + b*Y + c

then, if L(P) == 0, point P is on L
      if L(P) > 0, point P is to the left of L
      if L(P) < 0, point P is to the right of L

请注意，这是多余的，因为任何k > 0，[k * a，k * b，k * c]代表同一行（此属性使其成为一个homogeneous coordinate system）。我们还可以通过用第三个坐标增加它们来表示具有齐次坐标的点：

2D point P = (X, Y)
-> homogeneous coordinates [x, y, w] for P are [X, Y, 1]
   L(P)  =  L.a*P.x + L.b*P.y + L.c*P.w  ==  a*X + b*Y + c*1

在任何情况下，如果给定矩形的两个角（例如P和Q），则可以通过P和Q计算直线的齐次坐标使用其齐次坐标的三维交叉积：

homogeneous coordinates for line PQ are:  [P.X, P.Y, 1] cross [Q.X, Q.Y, 1]
  -> PQ.a = P.Y - Q.Y
     PQ.b = Q.X - P.X
     PQ.c = P.X*Q.Y - Q.X*P.Y

您可以在数学上验证点P和Q都在上述PQ行上。

要表示与矩形相交的线AB的线段，请先计算向量V = B - A，如@ btilly的答案。对于齐次坐标，其工作原理如下：

A  =  [A.X, A.Y, 1]
B  =  [B.X, B.Y, 1]
-> V  =  B - A  =  [B.X-A.X, B.Y-A.Y, 0]

for any point C on AB: homogeneous coordinates for C = u*A + v*V
  (where u and v are not both zero)

只有当C和u都是非负数时，点v才会出现在该行的光线部分。（与C = A + lambda * V的通常表述相比，这种表示可能看起来模糊不清，但这样做可以避免不必要的除零情况......）

现在，我们可以计算光线交点：我们用每个端点的参数AB坐标表示线[u,v]的一部分：{ start = [start.u, start.v]; end = [end.u, end.v] }。

我们以逆时针方向计算矩形的边缘，以便矩形内的点位于每条边的左侧/正侧（L(P)>0）。

Starting segment is entire ray:
  start.u = 1;  start.v = 0
  end.u = 0;  end.v = 1

for each counterclockwise-directed edge L of the rectangle:
  compute:
    L(A) = L.a*A.X + L.b*A.Y + L.c
    L(V) = L.a*V.X + L.b*V.Y
    L(start) = start.u * L(A) + start.v * L(V)
    L(end) = end.u * L(A) + end.v * L(V)
  if L(start) and L(end) are both less than zero:
    exit early: return "no intersection found"
  if L(start) and L(end) are both greater or equal to zero:
    do not update the segment; continue with the next line
  else, if L(start) < 0:
    update start coordinates:
      start.u :=  L(V)
      start.v := -L(A)
  else, if L(end) < 0:
    update end coordinates:
      end.u := -L(V)
      end.v :=  L(A)

on normal loop exit, the ray does intersect the rectangle;
the part of the ray inside the rectangle is the segment between points:
  homog_start = start.u * A + start.v * V
  homog_end = end.u * A + end.v * V
return "intersection found":
  intersection_start.X = homog_start.x/homog_start.w
  intersection_start.Y = homog_start.y/homog_start.w
  intersection_end.X = homog_end.x/homog_end.w
  intersection_end.Y = homog_end.y/homog_end.w

请注意，这适用于任意凸多边形，而不仅仅是矩形;以上实际上是一般的射线/凸多边形交叉算法。对于矩形，您可以展开for循环;并且，如果矩形是轴对齐的，则可以大大简化算法。但是，内部循环中的4个案例决策对于每个边缘应保持相同。

Answer 4

一种不那么聪明但概念上更简单的方法：当且仅当它与至少一个边相交时，光线与矩形相交。因此，对于矩形的每一边，找到通过光束AB通过端点的线的交点（如果有的话）;然后它只是一个范围检查，以确定该交叉点是否是矩形边界上的线段的一部分，或者它是否在外面。

如何确定光线是否与矩形相交？

4 个答案: