找到与多边形相交的光线尽可能多次

Question

这是一个有趣的练习：

  

设P是一个简单但不一定是凸的多边形，q是任意点，不一定是P.

     

设计一种有效的算法来查找源自q的线段，该线段与P的最大边数相交。

     

换句话说，如果站在q点，你应该朝着什么方向瞄准枪，以便子弹穿过最大数量的墙？

     

通过P顶点的子弹只能获得一面墙的信誉。

     

可以使用O（n log n）算法。 n是顶点或边的数量，因为它是一个多边形，边数大致等于顶点数。

以下是我的想法：

首先在P中连接q与所有顶点（假设有N个顶点）。将有N行或N-1对行。

最后的射击线必须在这些对之间。所以我们必须找到包含最多边数的对。

我不认为这个解决方案是O（n log n）。

有什么想法吗？

Answer 1

好吧，首先将点坐标转换为以P为中心的极坐标系。

• 不失一般性，让我们选择相对于角度坐标的顺时针方向。
• 现在让我们沿着多边形的所有边缘顺序进行圆形步行，让我们注意那些边缘的起点和终点，其中步行将我们沿着相对于P的顺时针方向。
• 让我们将这条边的终点称为'对接'，将起点称为'头'。这一切都应该在O（n）中完成。现在我们必须对这些头部和头部进行排序，因此快速排序可能是O(nlog(n))。我们按照从最小φ向上的角度（φ）坐标对它们进行排序，确保在φ坐标相等的情况下，头部被认为小于对接（这对于符合问题的最后规则很重要）。
• 一旦完成，我们将从最小的φ开始走它们，每当我们遇到一个屁股时递增运行总和，并且每当我们遇到一个头时递减，注意到全局最大值，这将是φ坐标上的间隔。这也应该在O（n）中完成，因此总体复杂度为O(nlog(n))。

现在你能告诉我你为什么问这类问题？

Answer 2

我使用了Boris Stitnicky的算法并用Java编写了我的解决方案。但是我选择逆时针方向，并检查间隔的哪个点是起点，哪个点是间隔的结束，我使用了叉积。您可以在此处找到它：https://github.com/Katkov/algorithms/blob/master/BulletAgainstWalls.java