Question

我想问你一些双线性插值/缩放细节。我们假设我们有这个矩阵：

|100 | 50 |
|70  | 20 |

这是一个2 x 2灰度图像。现在，我想将它缩放两倍，我的矩阵看起来像这样：

| 100   | f1 | 50 | f2 |
| f3    | f4 | f5 | f6 |
| 70    | f7 | 20 | f8 |

因此，如果我们想要计算f4，则计算定义为

f1 = 100 + 0.5(50 - 100) = 75
f7 = 70 +  0.5(20 - 70) = 45

现在终于：

f4 = 75 + 0.5(45 - 75) = 60

但是，我无法真正理解 f3 或 f1

的计算方法是什么

我们是否分别在每个方向进行双线性缩放？因此，这意味着：

f3 = 100 + 0.5(70 - 100) = 85
f1 = 100 + 0.5(50 - 100) = 75

另外，我应该如何对待 f2，f6，f8 。这些点是否像最近邻算法一样被复制？

Answer 1

我想向您介绍维基百科这个非常富有洞察力的图片，该图解说明了如何对一点进行双线性插值：

^{来源：Wikipedia}

如您所见，四个红点是已知的。您事先知道的这些点和P是我们希望插值的点。因此，我们必须做两个步骤（正如您在帖子中指出的那样）。要处理x坐标（水平），我们必须计算内插值对于红色顶行和红色底行的行。这会产生两个蓝点R1和R2。要处理y坐标（垂直），我们使用两个蓝点并垂直插值以获得最终的P点。

当你调整图像大小时，即使我们没有直观地看到我要说的内容，但想象这个图像是 3D信号 f 。矩阵中的每个点实际上都是一个3D坐标，其中列位置是x值，行位置是y值，z值是数量/灰度值矩阵本身。因此，执行z = f(x,y)是矩阵中位置(x,y)处的矩阵的值。在我们的情况下，因为您正在处理图片，(x,y)的每个值都是整数，从我们的行数/列数到1行，具体取决于您正在查看的维度。

因此，给定您要在(x,y)处插入的坐标，并给出上图中的红色坐标，我们称之为x1,y1,x2,y2，如图所示 - 具体遵循惯例图表和参考图像的访问方式：x1 = 1, x2 = 2, y1 = 2, y2 = 1，蓝色坐标R1和R2通过1D插值列使用相同的行计算两个点重合：

R1 = f(x1,y1) + (x - x1)/(x2 - x1)*(f(x2,y1) - f(x1,y1))
R2 = f(x1,y2) + (x - x1)/(x2 - x1)*(f(x2,y2) - f(x1,y2))

值得注意的是，(x - x1) / (x2 - x1)是权重/比例，表示在f(x1,y1)处看到的两个值之间的输出组合的混合程度和f(x2,y1) R1或f(x1,y2)和f(x2,y2) R2。具体而言，x1是起点，(x2 - x1)是x值的差异。您可以验证将x1替换为x而x2代替x，[0,1]给我们1.此权重在(1,1)之间波动，这是计算所需的工作。

应注意，图像的原点位于左上角，因此R1位于左上角。找到R2和P后，我们可以通过逐行插值找到P = R2 + (y - y2)/(y2 - y1)*(R1 - R2)：

(y - y2) / (y2 - y1)

同样，R1表示R2和P对最终输出f5的贡献的比例/组合。因此，您正确计算了f5，因为您使用了四个已知点：左上角为100，右上角为50，左下角为70，右下角为20.具体来说，如果要计算{{1} }，这意味着(x,y) = (1.5,1.5)，因为我们在100到50之间中途，因为您将图像缩放了两倍。如果将这些值插入上述计算中，您将获得预期的值60。两次计算的权重也会产生0.5，这是您在计算中得到的，也是我们所期望的。

如果你计算f1，这相当于(x,y) = (1.5,1)，如果你将其替换为上面的等式，你会看到(y - y2)/(y2 - y1)给你0或权重是0，所以计算的只是R2，对应于仅沿顶行的线性插值。同样，如果我们计算f7，这意味着我们想要在(x,y) = (1.5,2)进行插值。在这种情况下，您会看到(y - y2) / (y2 - y1)为1或权重为1，因此P = R2 + (R1 - R2)，这简化为R1，并且仅沿底行进行线性插值。

现在有f3和f5的情况。这两者分别对应(x,y) = (1,1.5)和(x,y) = (2,1.5)。对于这两种情况，将这些值替换为R1和R2以及P会给出：

`f3`

R1 = f(1,2) + (1 - 1)/(2 - 1)*(f(2,2) - f(1,2)) = f(1,2)
R2 = f(1,1) + (1 - 1)/(2 - 1)*(f(1,2) - f(1,1)) = f(1,1)
P = R1 + (1.5 - 1)*(R1 - R2) = f(1,2) + 0.5*(f(1,2) - f(1,1))

P = 70 + 0.5*(100 - 70) = 85

`f5`

R1 = f(1,2) + (2 - 1)/(2 - 1)*(f(2,2) - f(1,2)) = f(2,2)
R2 = f(1,1) + (2 - 1)/(2 - 1)*(f(1,2) - f(1,1)) = f(1,2)
P = R1 + (1.5 - 1)*(R1 - R2) = f(2,2) + 0.5*(f(2,2) - f(1,2))

P = 20 + 0.5*(50 - 20) = 35

那么这告诉我们什么？这意味着您只沿y方向插入。当我们看一下P时，这一点很明显。对P和f3中的每一个f5进行更彻底的计算检查，您会看到我们只考虑垂直方向的值。

因此，如果您想要一个明确的答案，f1和f7只能通过x /列方向沿同一行进行插值来找到。通过在同一列中插入f3 /行方向找到f5和y。 f4使用f1和f7的混合来计算您已经看到的最终值。

要回答您的最终问题，f2，f6和f8会根据个人喜好填写。这些值被视为超出范围，x和y值均为2.5，而[1,2]网格之外的值为(x,y) }}。在MATLAB中，默认实现是将定义边界之外的任何值填充为非数字（NaN），但有时，人们使用线性插值进行外推，复制边界值或执行某些操作精心填充，如对称或圆形填充。这取决于您处于什么状况，但没有关于如何填写f2，f6和f8的正确和明确答案 - 这一切都取决于您的申请和什么对你最有意义。

作为奖励，我们可以在MATLAB中验证我的计算是否正确。我们首先在(x,y)范围内定义[1,2]点的网格，然后调整图像的大小，使其大两倍，我们指定每点0.5的分辨率，而不是1. I＆＃ 39;我将调用你定义的矩阵A：

A = [100 50; 70 20]; %// Define original matrix
[X,Y] = meshgrid(1:2,1:2); %// Define original grid of points
[X2,Y2] = meshgrid(1:0.5:2.5,1:0.5:2.5) %// Define expanded grid of points
B = interp2(X,Y,A,X2,Y2,'linear'); %// Perform bilinear interpolation

原始(x,y)点网格如下：

展开的网格将矩阵的大小扩展两倍：

>> X2

X2 =

    1.0000    1.5000    2.0000    2.5000
    1.0000    1.5000    2.0000    2.5000
    1.0000    1.5000    2.0000    2.5000
    1.0000    1.5000    2.0000    2.5000

>> Y2

Y2 =

    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000
    1.5000    1.5000    1.5000    1.5000
    2.0000    2.0000    2.0000    2.0000
    2.5000    2.5000    2.5000    2.5000

B是使用X和Y作为原始网格点的输出，X2和Y2是我们想要插入的点。

我们得到：

>> B

B =

   100    75    50   NaN
    85    60    35   NaN
    70    45    20   NaN
   NaN   NaN   NaN   NaN

双线性图像插值/缩放 - 计算示例

1 个答案:

`f3`

`f5`