为什么运行时间是N ^ 2？

Question

    for (int i = 0; i*i < N; i++)
        for (int j = 0; j*j < N*N*N; j++)
            sum++;

这是课程中算法，第一部分课程中的练习之一。

外部for循环是N的平方根，内部循环在某种程度上是N（j * j）的平方根，也是N ^ 3（N * N * N）的平方根。那怎么变成N ^ 2？

Answer 1

回答这个问题有两个部分。首先，让我们讨论如何确定程序的运行时间将是多个循环。我们关心的是sum ++语句的调用次数 - 这就是我们正在测量的内容。考虑一下这个程序：

for (int i = 0; i < N; i++)
    for (int j = 0; j < N; j++)
        sum++;

首先我们看一下外循环，我们看到它会运行N次。现在，我们看一下内部循环，我们想知道外循环的每次迭代将运行多少次。一旦我们知道了，我们就可以简单地将这两个值相乘，并获得调用sum ++的总次数。在这种情况下，很容易看出每次运行外循环时，内循环将运行N次。由于外循环也运行N次，因此其运行时间为N ^ 2.

正如您所指出的，外部循环确实将以sqrt（N）次运行。现在，我们必须看看内循环将为外循环的每次迭代运行多少次。我们可以通过简化每个循环中的计数器来实现。通过这样做，我们可以看到每次调用外部循环时内部循环将运行N ^（3/2）次。

为什么这是真的？那么，请注意你写的内容相当于

for (int i = 0; i < N^(1/2); i++)
    for (int j = 0; j < (N*N*N)^(1/2); j++)
        sum++;

因为对于外循环的每次迭代，我们运行内循环N ^（3/2）次，我们可以简单地将它们相乘以获得总的运行时间O（N ^ 2）。