Question

我想用lambda * M * v = K * v计算广义特征值问题的特征值，其中lambda是特征值，v是特征向量，M和K是矩阵。假设我们有

K =

   1.8000 + 0.0000i  -1.0970 + 0.9550i
  -1.0970 - 0.9550i   1.8000 + 0.0000i

M = 

   209     0
     0   209

在Octave，如果我[V,D]=eig(K,M)，我得到：

V =

   0.53332 - 0.46429i  -0.53332 + 0.46429i
   0.70711 + 0.00000i   0.70711 + 0.00000i

D =

Diagonal Matrix

   0.34555         0
         0   3.25445

但是，如果我在python中使用Scipy执行scipy.linalg.eig（K，b = M），我会得到不同的结果：

>>> import numpy as np
>>> import scipy as sp
>>> import scipy.linalg
>>> K = np.mat([[1.8, -1.097+0.995j], [-1.097-0.955j, 1.8]])
>>> M = np.mat([[209., 0.], [0., 209.]])
>>> M
matrix([[ 209.,    0.],
        [   0.,  209.]])
>>> K
matrix([[ 1.800+0.j   , -1.097+0.955j],
        [-1.097-0.955j,  1.800+0.j   ]])
>>> D, V = sp.linalg.eig(K, b=M)
>>> D
array([ 0.00165333 -1.99202696e-19j,  0.01557155 +0.00000000e+00j])
>>> V
array([[ 0.70710678 +0.00000000e+00j, -0.53332494 +4.64289256e-01j],
       [ 0.53332494 +4.64289256e-01j,  0.70710678 -8.38231384e-18j]])

特征值应该是D数组中的特征值。

为什么这两个例子中的特征值不同？我误解了什么吗？

编辑：更正了拼写错误和重新计算。

编辑：我使用了Octave 3.8.2。在Mac OS X 10.10.3中。

Answer 1

我想我明白发生了什么。 Scipy可能提供正确的特征值。八度accepts a second matrix in its eig() function但未指定它的作用。 Matlab's documentation确实说它是一个广义的特征值问题，但在Octave中添加第二个矩阵似乎对特征值没有影响。这看起来像Octave中的一个错误。

Answer 2

出于好奇，我尝试使用Julia中的eig()例程进行相同的计算。（为清楚起见，我在符号A和B中使用了广义特征值问题。）

A = [ 1.8000 + 0.0000im  -1.0970 + 0.9550im ;
     -1.0970 - 0.9550im   1.8000 + 0.0000im ]

B = [  209.0    0.0 ;
         0.0   209.0 ]

D, V = eig( A, B )

err = A * V - B * V * diagm(D)
@show vecnorm( err )

结果与Scipy基本相同。

D = [0.0016533341538531843,0.015571546228921934]

V[:,1] = Complex{Float64}[0.03689085719366286 - 0.03211555936184871im,
                          0.048911598804451846 + 0.0im]
V[:,2] = Complex{Float64}[-0.03689085719366286 + 0.03211555936184871im,
                           0.048911598804451846 + 0.0im]

vecnorm(err) = 3.768784066493578e-17

另一方面，如果我尝试使用具有非对角元素的B矩阵的Octave，

A = [ 1.8000 + 0.0000i  -1.0970 + 0.9550i ;
     -1.0970 - 0.9550i   1.8000 + 0.0000i ]

B = [ 1.0 5.0 ;
      5.0 3.0 ]

[ V, D ] = eig( A, B );

err = A * V - B * V * D ;
printf( "error = %20.10g\n", norm( err ) )

它给出了正确的结果：

V =
   0.73147 - 0.19955i  -0.96401 - 0.03599i
   0.74058 + 0.25942i   0.72711 - 0.17996i

D =
   Diagonal Matrix
   0.057841 - 0.000000i                      0
   0                     -0.883750 + 0.000000i

error =      1.814738616e-15

如果我将B设置为diag（209.0,209.0）（如原始帖子中所示），则Octave给出

V =
    0.53332 - 0.46429i  -0.53332 + 0.46429i
    0.70711 + 0.00000i   0.70711 + 0.00000i

D =
    Diagonal Matrix
    0.34555         0
    0               3.25445

error =          676.9262577

事实上，上述V和D被认为是标准特征值问题A V = V D的解决方案。因此，当B是对角矩阵时，Octave只是通过假设单位矩阵来忽略它...

我使用Octave3.4.3（在Linux x86_64上），对于更新版本，结果可能会有所不同。

Scipy.linalg.eig（）从GNU Octave的eig（）给出不同的特征向量

2 个答案: