Question

我有一个关于scipy.linalg.eig如何计算左右特征向量的问题。也许我误解了一切，但事情似乎不适合我...

从一开始。为了获得特征值和两个特征向量，我使用了以下内容：

ev, left_v, right_v = scipy.linalg.eig(A, left=True)

根据manual，在调用函数时设置left=True后，我应该将左特征向量作为left_v的列，其中第i列指的是第i个特征值。然而，结果并不是我所预期的，所以我做了一个简单的检查。

我计算了两次调用函数的左右特征向量（详见here）：

right_ev, right_v_2 = scipy.linalg.eig(A)
left_ev, left_v_2 = scipy.linalg.eig(A.T)

其中left_v_2列是与left_ev中相应值相关联的特征向量。值得强调的是right_ev_2和left_ev_2都给出了相同的特征值，但它们的顺序不同，需要加以考虑。

比较left_ev和left_ev_2（在针对特征值重新排序之后），可以很快发现前者是后者的共轭，因此left_ev从scipy.linalg.eig获得使用left=True不是有效的左特征向量。

对特征向量的有效性的另一个检查可以基于以下事实来完成：对于任意实矩阵，左和右特征向量是双正交的，即：

left_v.T.dot(right_v)应该给出一个对角矩阵，但它没有，直到我将其更改为：left_v.T.conj().dot(right_v)，

，同时：

left_v_2.T.dot(right_v_2)给出了预期的对角矩阵。

之前有没有人遇到过类似的问题？我说的是对的吗？在描述eig时，sciPy手册有点不精确吗？你能提出任何建议吗？

非常感谢！

Answer 1

关于vl，eig文档字符串显示：

a.H vl[:,i] = w[i].conj() b.H vl[:,i]

或者，采取双方的共轭转置（即Hermitian转置）（这就是.H的意思），假设b是身份，

vl[:,i].H a = w[i] vl[:,i].H

因此vl的共轭转置行是a的实际左特征向量。

Numpy数组实际上没有.H属性，因此必须使用.conj（）。T。

这是验证计算的脚本：

import numpy as np
from scipy.linalg import eig

# This only affects the printed output.
np.set_printoptions(precision=4)

a = np.array([[6, 2],
              [-1, 4]])

w, vl, vr = eig(a, left=True)

print "eigenvalues:", w
print

# check the left eigenvectors one-by-one:
for k in range(a.shape[0]):
    val = w[k]
    # Use a slice to maintain shape; vec is a 2x1 array.
    # That allows a meaningful transpose using .T.
    vec = vl[:, k:k+1]
    # rowvec is 1x2; it is the conjugate transpose of vec.
    # This should be the left eigenvector.
    rowvec = vec.conj().T
    # Verify that rowvec is a left eigenvector
    lhs = rowvec.dot(a)
    rhs = val * rowvec
    print "Compare", lhs, "to", rhs
    print rowvec, "is",
    if not np.allclose(lhs, rhs):
        print "*NOT*",
    print "a left eigenvector for eigenvalue", val

print
print "Matrix version:"
print "This"
print vl.conj().T.dot(a)
print "should equal this"
print np.diag(w).dot(vl.conj().T)

输出：

eigenvalues: [ 5.+1.j  5.-1.j]

Compare [[ 1.6330+2.4495j  4.0825+0.8165j]] to [[ 1.6330+2.4495j  4.0825+0.8165j]]
[[ 0.4082+0.4082j  0.8165-0.j    ]] is a left eigenvector for eigenvalue (5+1j)
Compare [[ 1.6330-2.4495j  4.0825-0.8165j]] to [[ 1.6330-2.4495j  4.0825-0.8165j]]
[[ 0.4082-0.4082j  0.8165+0.j    ]] is a left eigenvector for eigenvalue (5-1j)

Matrix version:
This
[[ 1.6330+2.4495j  4.0825+0.8165j]
 [ 1.6330-2.4495j  4.0825-0.8165j]]
should equal this
[[ 1.6330+2.4495j  4.0825+0.8165j]
 [ 1.6330-2.4495j  4.0825-0.8165j]]

现在，eig文档字符串也在返回值的描述中说明：

vl : double or complex ndarray
    The normalized left eigenvector corresponding to the eigenvalue
    ``w[i]`` is the column v[:,i]. Only returned if ``left=True``.
    Of shape ``(M, M)``.

这可能会产生误导，因为左特征向量的传统定义（例如http://mathworld.wolfram.com/LeftEigenvector.html或http://en.wikipedia.org/wiki/Eigenvalues_and_eigenvectors#Left_and_right_eigenvectors）是行向量，所以它是{{1}列的共轭转置这实际上是左特征向量。

scipy.linalg.eig是否给出了正确的左特征向量？

1 个答案: