朱莉娅中的左右特征向量

Question

我有一个通用的实矩阵（即非对称矩阵或Hermitian等），我想在Julia中找到它的右本征向量和相应的左本征向量。

Julia的eigen函数仅返回正确的特征向量。我可以通过做找到左特征向量

eigen(copy(M'))

但是这需要复制整个矩阵并再次执行特征分解，并且不能保证特征向量的顺序相同。 （copy是必需的，因为类型eigen的矩阵没有Adjoint方法。）

在Python中，我们有scipy.linalg.eigs，它可以在一次通过中同时计算左右特征向量，这样效率更高，并且可以保证它们的顺序相同。朱莉娅有类似的东西吗？

Answer 1

左特征向量可通过将右特征向量形成的矩阵求逆来计算：

using LinearAlgebra   
A = [1 0.1; 0.1 1]
F = eigen(A)
Q = eigvecs(F) # right eigenvectors 
QL = inv(eigvecs(F)) # left eigenvectors 
Λ = Diagonal(eigvals(F))
# check the results
A * Q ≈ Q * Λ # returns true
QL * A ≈  Λ * QL # returns true, too
# in general we have:
A ≈ Q * Λ * inv(Q)

在上面的示例中，QL是左特征向量。

如果将左特征向量应用于向量，则最好计算Q \ v，而不是inv(QL)*v。

Answer 2

我使用SVD分解将一个矩阵分解为3个矩阵USV'=M。U矩阵按列包含左特征向量，V包含右特征向量，S与特征值的平方成对角线。

请注意，当且仅当A是对称的（如在PCA中，在相关矩阵上不明确地使用两者）且U必须为正定时，U = inv（V）。

以下是一些我确认了我的信息的消息来源： https://www.cc.gatech.edu/~dellaert/pubs/svd-note.pdf https://en.wikipedia.org/wiki/Singular_value_decomposition