离散逼近二元正态分布

Question

我想对二元正态分布进行离散近似。也就是说，我想计算一个矩阵，其中每个条目都是落入下图中小方块之一的概率。

这是我到目前为止所做的。

library(mvtnorm)
library(graphics)

euclide = function(x,y){sqrt(x^2+y^2)}
maxdist = 40
sigma = diag(2)
m = matrix(0,ncol=maxdist*2 + 1, nrow=maxdist*2 + 1)
for (row in -maxdist:maxdist){
    for (col in -maxdist:maxdist){
        if ( euclide(abs(row), abs(col)) < maxdist ){
            lower = c(row-0.5, col-0.5)
            upper = c(row+0.5, col+0.5)
            p = pmvnorm(lower = lower , upper = upper, mean = c(0,0), sigma = sigma)    
        } else {
            p = 0
        }
        m[row + maxdist + 1,col + maxdist + 1] = p
    }
}
m = m[rowSums(m)!=0,colSums(m)!=0]
contour(m, levels = exp(-20:0), xlim=c(0.3,0.7), ylim=c(0.3,0.7))

一切正常。它虽然很慢（对于大maxdist）而且我希望改善它的计算时间。但这不是我的主要问题......

主要问题是，使用我的方法，我无法改变靠近中心的小方块的数量，以获得接近平均值的更好的近似值。我只能在周围添加方块。换句话说，我希望能够设置双变量正态分布的两个轴的方差。

Answer 1

我不是R人，但我确信正常分发有CDF功能。如果你想要的是字面上描绘了落入每个方格的概率的矩阵，我们可以使用这个CDF函数来得到答案。由于2D正态分布具有独立的边际分布，因此这里的问题仅仅是为轴位置[x_left，x_right]和[y_left，y_right]描述的每个方格询问2个问题：

1. 1D正常随机变量在区间[x_left，x_right]中的概率是多少？
2. 另一个独立的1D正态随机变量在[y_left，y_right]区间的概率是多少？

由于两者是独立的，因此广场的完整概率为：

P = (CDF(x_right) - CDF(x_left))*(CDF(y_right) - CDF(y_left))

这是一个确切的答案，因此计算时间应该不是问题！

编辑：我还应该说你可以选择一个网格，每个轴上的刻度更接近零，以获得你想要的分辨率。每个方格的上述概率公式仍然有效。

Answer 2

这是一个简单的实现。就像@DanielJohnson所说，你可以使用cdf形式单变量法线，但它应该与使用pmvnorm相同，如下所示。使用pnorm的版本要快得多。

## Choose the matrix dimensions
yticks <- xticks <- seq(-3, 3, length=100)
side <- diff(yticks[1:2])  # side length of squares
sigma <- diag(2)               # standard devs. for f2
mu <- c(0,0)                # means

## Using pnorm
f <- Vectorize(function(x, y, side, mu1, mu2, s1, s2)
    diff(pnorm(x+c(-1,1)*side/2, mu1, s1)) * diff(pnorm(y+c(-1,1)*side/2, mu2, s2)),
    vec=c("x", "y"))

## Using pmvnorm
f2 <- Vectorize(function(x, y, side, mu, sigma)
    pmvnorm(lower=c(x,y)-side/2, upper=c(x,y)+side/2, mean=mu, sigma=sigma),
                vec=c("x", "y"))

## get prob. of squares, mu are means, s are standards devs.
mat <- outer(xticks, yticks, f, side=side, mu1=0, mu2=0, s1=1,s2=1)
mat2 <- outer(xticks, yticks, f2, side=side, mu=mu, sigma=sigma)

## test equality
all(abs(mat2-mat) < 1e-11)  # TRUE
all.equal(mat2, mat)        # TRUE

## See how it looks
library(lattice)
persp(mat, col="lightblue", theta=35, phi=35, shade=0.1)