Question

我必须找到（p ^ e-1）/（p-1）mod 1000000007，其中p是素数。如果gcd（p-1,1000000007）不是1，则不定义（p-1）的模逆。此外，（p ^ e-1）可被（p-1）（几何级数的和）整除。此外，由于p，e＆lt; = 10 ^ 18，我无法找到（p ^ e-1）。那么如何找到（p ^ e-1）/（p-1）mod 1000000007

Answer 1

当你分割整数，然后取模数时，你必须以特殊的方式处理模数的素因子。考虑例如6/3 mod 3.如果我们只是试着写6/3 mod 3 =（6 mod 3）/（3 mod 3）我们会有未定义的0/0，而正确答案当然是6/3 mod 3 = 2 mod 3 = 2.

所以我们需要做的是从分子和分母中分解3的幂，并将它们分开（通过减去指数）。所以我们有6 = 3 ^ 1 x 2,3 = 3 ^ 1 x 1，所以6/3 = 3 ^ 1/3 ^ 1 x 2/1 = 3 ^ {1-1} x 2 = 3 ^ 0 x 2 = 2 mod 3.让我们尝试一个更复杂的例子：18/6 mod 3 =（3 ^ 2 x 2）/（3 ^ 1 x 2）= 3 ^ {2-1} x 2/2 = 3 x 1 = 3 mod 3 = 0。

这是另一个例子：36/18 =（3 ^ 2 x 4）/（3 ^ 2 x 2）= 3 ^ {2-2} x 4 x 2 ^ { - 1} mod 3 = 4 x 2 mod 3（因为2 ^ { - 1} = 2 mod 3）= 8 mod 3 = 2.一般情况下，我们减去3部分幂的指数，并将mod 3反转为3部分除数的非幂。 / p>

在你的例子中，我们必须找到进入p ^ e-1的最高功率m 1000000007，并且重写p ^ e-1 = 1000000007 ^ mxs，其中s相对于1000000007的素数。我们也这样做对于p-1 = 1000000007 ^ nxt，其中t是相对于1000000007的素数。然后商（p ^ e-1）/（p-1）= 1000000007 ^ {mn} xsxt ^ { - 1}。如果m> n，答案是0 mod 1000000007;否则答案是s x t ^ { - 1} mod 1000000007.存在t mod 1000000007的倒数，因为t是1000000007的相对素数;逆可以通过欧几里德算法的修改版本来计算。

Answer 2

由于1000000007是素数，因此有两种情况。

案例1：1000000007是p-1的因子。然后p mod 1000000007 = 1，所以1 + p + p ^ 2 + ... + p ^（e-1）= 1 + 1 + 1 ... + 1 = e mod 1000000007。

情况2：1000000007是p-1的相对素数，你可以计算1 /（p-1）为（p-1）^ 1000000005 mod 1000000007，或者使用Euclid算法，你可以计算通过平方使用取幂来相对快速地修正mod 1000000007。

Answer 3

1000000007 is a prime number，所以如果p-1 < 1000000007 gcd将始终为1.如果p-1是1000000007的倍数，那么根据定义，它是零模1000000007，因此没有反向定义。

Answer 4

你有两个案例

p-1是大元素1000000007的互质。 p <= 1000000007始终如此，对于较大的p通常也是如此。在这种情况下，您似乎知道该怎么做 - 使用算法查找p-1的模块化逆，即a，a * (p - 1) == 1 mod 1000000007。
p-1是1000000007的倍数 - 即p-1 == k*1000000007。在这种情况下，p == k*1000000007 + 1

让我们把注意力转向表达式的顶线
```
p^e - 1 == (k * 1000000007 + 1) ^ e - 1
```
这可以通过二项式扩展扩展为
```
((k*1000000007)^e + e*(k*1000000007)^(e-1) + ... + 1) - 1
```
但请记住，(k*1000000007) == p-1。所以，扩展是
```
((p-1)^e + e*(p-1)^(e-1) + ... + e*(p-1))
```
我们可以通过p-1进行划分，并留下
```
((p-1)^(e-2) + e*(p-1)^(e-2) + .... + e)
```
我们知道在这种情况下，包含p-1的所有术语都是0 mod 1000000007，所以我们只剩下最后一个术语e。因此，在这种情况下，表达式(p^e - 1) / (p - 1) mod 1000000007的结果为e - 您找不到p-1的模数逆，因为您不能，但您也不需要。 / p>

如果gcd不是1

4 个答案: