Question

如何计算F(n)%mod，其中mod是素数。和F(n)=n!/(q!^r)%mod ....（x^r代表pow(x,r)）。

我正在尝试使用fermat的小定理来计算逆模，但我遇到的问题是fermat仅适用于gcd(denominator,mod)=1。

还有其他方法可以解决这个问题。

Answer 1

如果模数是素数，则可以使用扩展的欧几里德算法计算逆：

function inverse(x, m)
    a, b, u = 0, m, 1
    while x > 0
        q = b // x # integer division
        x, a, b, u = b % x, u, x, a - q * u
    if b == 1 return a % m
    error "must be coprime"

如果模数是复合的，只要 x 和 m 是互质的，该算法仍然可以工作。如果他们共享一个因子，则反向不存在。

Answer 2

如果gcd不是，则没有模块化反转 1.位于Wikipedia page顶部：

当且仅当a和m是互质时（即，如果gcd（a，m）= 1），模m的乘法逆存在。

Answer 3

当你试图计算这个商模 p （对于某个素数）时，让我假设你知道结果是一个整数。

正如人们所提到的，如果 q＆gt; = p ，那么你就无法计算分母的倒数，因为 q！与模数不相符，所以这个数字是不可逆的。但这并不意味着你无法计算整个商模 p 。

让 a ， b 分别是分子和分母中 p 因子的数量。结果是整数，我们有 a＆gt; = b 。如果不等式是严格的，则结果为0.否则，如果等式成立，我们可以从分子和分母中移除这些因子并继续，因为现在分母与 p 相互作用。

因此，让我先从有效计算 a ， b 数字的方法开始。密钥称为De Polignac's formula，它表示对于给定的 k ， k！中的 p 因子的数量可以按这样计算：

int polignac(int k, int p) {
  int res = 0, power = p;
  while (k >= power) {
    res += k/power;
    power *= p;
  }
  return res;
}

因此，我们获得 n！和 q！的 p 因子，因此获得是微不足道的p 因子 q！^ r （只需乘以 r ）。

在严格的不平等情况下，我们已经完成了。如果没有，我们必须计算分子和分母的模数“丢弃”所有 p 因子。这也可以有效地解决。我们可以像这样写 k！：

ķ！ = 1 x 2 x 3 x ... x p x（p + 1）x（p + 2）... x（p ^ 2）x ...

如果我们删除 p 因子并应用modulo，我们会有以下内容：

ķ！ = 1 x 2 x 3 x ... x （这里没有，只有1） x 1 x 2 ... x （另一个1） x ... < / em>的

因此，同一产品不断重复直至结束。因此，计算 1 x 2 x ... x（p - 1） modulo p ，将其提升到适当的功率模 p （使用快速指数）只是乘以“reamaining”项，因为一般 k 不能被 p 整除。

逆模的问题，其中gcd（分母，mod）！= 1

3 个答案: