Question

我有一个（nxd）数据集（D），其中n =行数，d =维数，我通过比较数据集的每一行（D）创建一个相似矩阵（S）（nxn）然后将其转换为稀疏矩阵（tx3），其中t是对称相似矩阵（S）的非零元素的数量

创建相似性矩阵的时间复杂度为o（n ^ 2d），其中d是一些常数运算。转换稀疏矩阵的时间复杂度是theta（n ^ 2）

我的问题是：如果我执行检查＆＃34;如果相似度值为＆＃34;零＆＃34;然后继续（继续）将其放入稀疏矩阵＆＃34;。假设我可以说从数据集（D）计算稀疏矩阵的成本是O（n ^ 2 d）。

例如：

创建相似度矩阵：

for i in range(0,n):
    for j in range(0,n):
        find similarity_value of D[i] and D[j]
        insert into similarity_matrix: S[i,j]= similarity_value

The above runs in O(n^2 d)
    n^2 for the loops
    d   for finding the similarity between D[i] and D[j]

稀疏矩阵创建形式Simiarity矩阵

for i in range(0,n):
    for j in range(0,n):
        if S[i,j]==0:
            continue
        else
            insert into sparse_matrix [i, j, S[i,j]]

The above runs in O(n^2)
    n^2 for the loops

如果一个接一个地进行操作，则需要O（n ^ 2 d）+ O（n ^ 2）。

由于我们只需要sparse_matrix，我们直接创建稀疏矩阵而不创建相似度矩阵。

直接创建稀疏矩阵而不创建相似度矩阵：

for i in range(0,n):
    for j in range(0,n):
        find similarity_val of D[i] and D[j]
        if similarity_val==0:
            continue
        else
            insert into sparse_matrix [i,j,similarity_val]

我的问题是：

Wouldn't the above run in only O(n^2 d), since I am directly inserting into sparse matrix
    n^2  for the two loops
    d    for finding the similarity_val of D[i] and D[j]

如果我遗失了某些内容或者我对某些事情的理解是错误的，请告诉我。

Answer 1

对于每个（i，j）对（总共有n ^ 2），您到达循环的内部部分，在那里找到相似性，然后有条件地将元素添加到稀疏矩阵。找到相似性需要“d”操作（因为你需要循环遍历每个维度）并有条件地添加一个元素需要一定数量的操作（在值为0的情况下进行1次比较操作，1次比较操作加1在值为非零的情况下的插入操作）。由于每次到达此双循环内部时都需要执行“d”加上一定数量的运算，因此总共执行O（n ^ 2 d）运算。

请注意，如果将内部循环限制为不小于i的j值（也就是用for j in range(0, n)替换for j in range(i, n)），则此渐近操作计数不会更改。这是因为你将到达循环内部n *（n + 1）/ 2次并执行“d”加上恒定数量的操作，这仍然是O（n ^ 2 d）总计算。

计算稀疏矩阵的时间复杂度（2）

1 个答案: