假设有一些数学背景，您如何对天真的计算复杂性理论进行概述？
我正在寻找P = NP问题的解释。什么是P？什么是NP？什么是NP-Hard？
有时维基百科的写作就好像读者已经理解所涉及的所有概念一样。
答案 0 :(得分：61)
Hoooo，博士学位闪回。好的，这就是。
我们从一个决策问题的想法开始，一个算法总能回答“是”或“否”的问题。我们还需要两种计算机模型（图灵机，真的）的概念：确定性和非确定性。确定性计算机是我们一直在思考的常规计算机;一个非确定性的计算机就像我们习惯的那样，除了它具有无限的并行性，因此无论何时你来到一个分支，你都会产生一个新的“过程”并检查双方。就像Yogi Berra说的那样，当你来到路上的叉子时，你应该接受它。
如果有一个已知的多项式时间算法来得到答案，则决策问题在P中。如果存在用于非确定性机器的已知多项式时间算法以获得答案，则在NP中存在决策问题。
在P中已知的问题在NP中是非常简单的 - 非确定性机器从不会麻烦自己分叉另一个过程，并且就像确定性过程一样。已知存在P和NP都不存在的问题;一个简单的例子是枚举长度为n的所有位向量。无论如何，这需要2个 n 步骤。
（严格地说，如果节点终极机器可以在多时间内得到答案，则决策问题在NP中，并且确定性机器可以验证在聚合时间内解决方案是正确的。）< / p>
但是在NP中已知存在一些问题，其中没有多时间确定性算法;换句话说，我们知道他们在NP中，但不知道他们是否在P中。传统的例子是旅行商问题（decision-TSP）的决策问题版本：给定城市和距离，是否有一条覆盖所有城市的路线，返回起点，在 x 距离以内？在一个不确定性的机器上这很容易，因为每当不确定性的旅行推销员来到路上的叉子时，他就会接受它：他的克隆人前往他们没有去过的下一个城市，最后他们比较笔记，看看是否任何克隆的距离都小于 x 。
（然后，成倍数量的克隆人会争取解决哪些克隆必须被杀死。）
目前尚不清楚决策TSP是否在P中：没有已知的多时间解决方案，但没有证据证明这种解决方案不存在。
现在，还有一个概念：给定决策问题P和Q，如果算法可以在多项式时间内将P的解转换为Q的解，那么可以说Q是多时间可缩减的 （或者只是简化）到P。
如果你能证明（1）它在NP中，并且（2）表明它的多时间可以简化为已知为NP完全的问题，则问题是NP完全的。 （其中最难的部分是提出NP完全问题的第一个示例：这是由Steve Cook在Cook's Theorem完成的。）
所以真的，它说的是，如果有人找到一个NP完全问题的多时间解决方案，他们会自动得到一个所有 NP完全问题;这也意味着P = NP。
问题是NP难的，当且仅当它“至少与NP完全问题一样难”时。寻找最短路线的传统旅行商问题是NP难的，而不是严格的NP完全。
答案 1 :(得分：5)
Michael Sipser的Introduction to the Theory of Computation是一本很棒的书，非常易读。另一个伟大的资源是Scott Aaronson的Great Ideas in Theoretical Computer Science课程。
使用的形式主义是查看决策问题（是/否答案的问题，例如“这个图表是否具有汉密尔顿循环”）作为“语言” - 字符串集 - 输入的答案是是的。有一个关于“计算机”是什么的正式概念（图灵机），如果存在用于在图灵机上确定该问题（给定输入字符串，说是或否）的多项式时间算法，则存在问题。
如果在多项式时间可检查，则问题出现在NP中，即如果对于答案为是的输入，则给出（多项式大小）证书，您可以检查该证书在多项式时间内答案为是。 [例如。给定哈密顿循环作为证书，您显然可以检查它是否为。]
它没有说明如何找到该证书。显然，您可以尝试“所有可能的证书”，但这可能需要指数时间;目前尚不清楚你是否总是 要多于多项式时间来决定是或否;这是P vs NP问题。
如果能够解决该问题意味着能够解决NP中的所有问题，那么问题就是NP难。
另见这个问题： What is an NP-complete in computer science?
但实际上，所有这些可能只对你含糊不清;值得花时间阅读，例如西普尔的书。这是一个美丽的理论。
答案 2 :(得分：5)
这是对查理的帖子的评论。
如果你能证明（1）它在NP中，那么问题是NP完全的 （2）表明它的多时间可以减少到已知的问题 是NP完全的。
第二个条件有一个微妙的错误。实际上，你需要证明的是一个已知的NP完全问题（比如 Y ）是多项式时间可以减少到这个问题（我们称之为问题 X ）。
这种证据背后的原因是，如果你可以减少 NP - 完成这个问题的问题并以某种方式设法在多时间解决这个问题，那么你也成功了找到 NP - 完成问题的多时间解决方案，这将是一个了不起的（如果不是不可能）的事情，从那以后你将成功地解决长期存在的 P = NP 问题。
另一种看待这种证据的方法是将其视为使用反对证明技术，该技术基本上表明如果 Y - > X ，然后 ~X - ＆gt; 〜ÿ。换句话说，不能在多项式时间内解决 Y 也不可能意味着在多时间内也不能解决X.另一方面，如果你可以在多时间内解决X，那么你也可以在多时间内解决Y.此外，您可以通过传递性解决在多时间内减少到Y的所有问题。
我希望我上面的解释足够清楚。一个很好的资料来源是Kleinberg和Tardos的算法设计第8章或Cormen等人的第34章。
答案 3 :(得分：4)
不幸的是，我所知道的最好的两本书（Garey and Johnson和Hopcroft and Ullman）都是从研究生证明导向的数学水平开始的。这几乎肯定是必要的，因为整个问题很容易被误解或错误描述。杰夫nearly got his ears chewed off当他试图以过于粗鲁/诙谐的语气来处理此事时。
也许最好的方法是使用big-O表示法using lots of examples and exercises进行大量的动手操作。另见this answer。但请注意，这不是完全相同的事情：单个算法可以通过渐近线来描述，但是说问题具有一定的复杂性是关于每个可能的算法的声明为它。这就是证明如此复杂的原因！
答案 4 :(得分：2)
我记得Papadimitriou的“计算复杂性”（我希望我的名字拼写正确）作为一本好书
答案 5 :(得分：1)
非常简化：如果解决问题的唯一方法是枚举所有可能的答案并检查每个答案，那么问题就是NP难题。
答案 6 :(得分：1)
以下是有关该主题的一些链接：
你熟悉集合基数的概念，即集合中元素的数量，那么人们就可以看到像P代表整数的基数这样的问题，而NP则是一个谜：它是相同的还是它像所有真实数字的基数一样大吗？
答案 7 :(得分：0)
我简化的答案是：“计算复杂性是分析当你添加更多元素时问题变得多难。”
在那句话中，“更难”这个词是故意模糊的，因为它可以指处理时间或记忆用法。
答案 8 :(得分：0)
在计算机科学中，仅仅能够解决问题是不够的。它必须在合理的时间内解决。因此，在纯数学中，你想出了一个等式，在CS中你必须改进这个等式，这样你才能在合理的时间内解决问题。
这是我能想到的最简单的方法，这可能对你的目的来说太简单了。
答案 9 :(得分：0)
根据你有多长时间，也许最好从DFA，NDFA开始，然后表明它们是等效的。然后他们理解ND与D，并且会更好地理解正则表达式作为一个很好的副作用。