假设我有100万个任意形状，任意定向的N维椭圆体随机散布在N维空间中。给定一组子椭球，我想“快速”确定第一组椭圆体相交的所有椭球的集合。
必须有一个算法。它是什么？什么是“O”复杂性？
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如果您允许N维数据，则“O”复杂性会受到维度诅咒的影响。 （有关详细信息，请参阅this wikipedia article）。我建议借用物理模拟并将这个问题分为“广泛阶段”和狭窄阶段：
窄阶段是测试任意椭圆之间的交叉的直接计算几何问题。对于广义阶段，您需要使用空间结构，例如空间散列，空间树（R树，Kd树，X树，UB树等等），或者给定ad-hoc结构您正在加载的数据的某些特殊属性（例如不平衡的树或散列）。
目前流行的方法是Kd树。有很多文档和已经编码的Kd树版本可以很容易地配置，所以我建议你在线查看。 （谷歌是你的朋友。）使用大多数树结构的优点是，如果设置你正在寻找相对紧凑的交叉点，你只能在树中搜索一次并找到交叉点而不必执行多个树遍历。这将有助于缓存（无论是来自主内存还是磁盘）访问模式。相同的算法可以处理不同的成员查询。但是，您可能正在从紧凑的查询集属性中获益很多。
Kd树不会修复所有椭圆体的问题 - 例如，如果你有一个尺寸为N的椭圆体，其主轴是从（0,0,0,0，...）到（0） ，1,1,1，......）但是，由于次要轴较小或无关紧要（以后不会相交很多），仍需要在所有N维中覆盖[0,1]的节点。如果您的椭圆体落在[0,1] ^ n中，那么每个椭圆体将测试与上述不方便的椭圆体的交点。然而，对于现实世界的数据（甚至大多数合成数据，除非你真的努力使Kd树变慢），Kd树方法应该是一个胜利。
如果你期望Kd-tree在千维椭圆体上取得成功，你可能会更好地进行强力搜索。 （上面提到的维数诅咒。）但是......
如果你有一个优化的实现，一百万个条目也不算太糟糕，但是如果你做了很多查询（数百万），它会变慢（大约10秒或更差）。然而，我已经看到一些令人惊讶的数字来自经过优化的矢量化代码。 （甚至使用这种策略运送了一些产品。）通过正确的缓存一致性，强制执行最多只需要几毫秒。这意味着在C / C ++中使用ASM或矢量内在函数 - 不确定您正在使用哪种语言。
对于大多数数据，O复杂度（忽略维度的诅咒）应该是关于查询（一旦构建树）的摊销O（m log n），其中m是查询集中的省略号数，n是数据集中的省略号数。构建数据本身不应该比O（n log n）差。将所有内容乘以Exp（d），其中d是维度 - 这就是它与这种事物的关系。