典型表达式的渐近复杂性

Question

下图中渐近复杂度的跟随函数的递增顺序为：

（A）f1（n）; F4（N）; F2（N）; F3（n）的

（B）f1（n）; F2（N）; F3（N）; F4（N）;

（C）f2（n）; F1（n）的; F4（N）; F3（n）的

（D）f1（n）; F2（N）; F4（N）; F3（n）的

a）这个简单问题的时间复杂度顺序为---＆gt;（n ^ 0.99）*（logn）＆lt;那......怎么样？ log可能是一个增长缓慢的函数，但它仍然比常量

增长得更快

b）考虑函数f1，假设它是f1（n）=（n ^ 1.0001）（logn）那么答案是什么？

每当存在涉及对数和多项式表达式相乘的表达式时，对数函数是否超过多项式表达式？

c）如何检查这种情况假设

1）（n ^ 2）logn vs（n ^ 1.5）具有更高的时间复杂度？ 2）（n ^ 1.5）logn vs（n ^ 2）具有更高的时间复杂度？

Answer 1

如果我们考虑C_1和C_2使得C_1 <1。 C_2，那么我们可以肯定地说出以下内容

(n^C_2)*log(n) grows faster than (n^C_1)

这是因为     （n ^ C_1）增长慢于（n ^ C_2）（显然）

also, for values of n larger than 2 (for log in base 2), log(n) grows faster than 
1.

in fact, log(n) is asymptotically greater than any constant C,
because log(n) -> inf as n -> inf

if both (n^C_2) is asymptotically than (n^C_1) AND log(n) is asymptotically greater 
than 1, then we can certainly say that 
(n^2)log(n) has greater complexity than (n^1.5)

我们认为log（n）是一个“缓慢增长”的函数，但它的增长速度仍然快于1，这是关键所在。

coder101在评论中提出了一个有趣的问题，基本上是

is n^e = Ω((n^c)*log_d(n))?
where e = c + ϵ for arbitrarily small ϵ

我们做一些代数。

n^e = (n^c)*(n^ϵ)
so the question boils down to
is n^ϵ = Ω(log_d(n))
or is it the other way around, namely:
is log_d(n) = Ω(n^ϵ)

为了做到这一点，让我们找到满足n ^ε的ε的值。 log_d（n）的

n^ϵ > log_d(n)
ϵ*ln(n) > ln(log_d(n))
ϵ > ln(log_d(n)) / ln(n)

因为我们知道

的事实

ln(n) * c > ln(ln(n))        (1)
as n -> infinity

We can say that, for an arbitrarily small ϵ, there exists an n large enough to 
satisfy ϵ > ln(log_d(n)) / ln(n)

because, by (1), ln(log_d(n)) / ln(n) ---> 0 as n -> infinity.

有了这些知识，我们可以说

is n^ϵ = Ω(log_d(n))
for arbitrarily small ϵ

which means that
n^(c + ϵ) = Ω((n^c)*log_d(n))
for arbitrarily small ϵ.

用layperson的术语

n^1.1 > n * ln(n)
for some n

also

n ^ 1.001 > n * ln(n)
for some much, much bigger n

and even
n ^ 1.0000000000000001 > n * ln(n)
for some very very big n.

Answer 2

用f1 =（n ^ 1.0001）（logn）代替f1 =（n ^ 0.9999）（logn）将得到答案（C）：n，（n ^ 1.0001）（logn），n ^ 2,1.00001 ^ n

推理如下：

。 （n ^ 1.0001）（logn）具有比n更高的复杂度，显而易见。

。 n ^ 2高于（n ^ 1.0001）（logn），因为多项式部分渐近地支配对数部分，因此高次多项式n ^ 2获胜

。 1.00001 ^ n支配n ^ 2，因为1.00001 ^ n具有指数增长，而n ^ 2具有多项式增长。指数增长渐近获胜。

BTW，1.00001 ^ n看起来有点类似于称为“亚指数”增长的家族，通常表示为（1 +Ɛ）^ n。尽管如此，无论小的是什么，亚指数增长仍然支配任何多项式增长。

Answer 3

此问题的复杂性介于f1(n)和f2(n)之间。

对于f(n) = n ^ c where 0 < c < 1，曲线增长最终将变得如此缓慢，以至于与线性增长曲线相比，它变得微不足道。

对于f(n) = logc(n), where c > 1，曲线增长最终将变得如此缓慢，以至于与线性增长曲线相比，它变得微不足道。

与线性增长曲线相比，这两个函数的乘积最终也将变得微不足道。

因此，Theta(n ^ c * logc(n))的渐近性比Theta(n)复杂。