嵌套for循环的大时间复杂性

Question

我在这里有一个问题，循环是：

for (i=0; i < n; ++i)
   for (j = 3; j < n; ++j)
           {
            ...
           }

我有点理解如何计算大哦但是我不完全确定如何去做。外循环执行n次，内循环对i的每个值执行i次。复杂性应该是N ^ 2（我认为）。你们能详细说明这是如何计算的吗？我理解其中的一部分，但不是全部。

Answer 1

它是(n*(n-3)) = n²-3n，对于非常大的n，它接近n²。因此，对于Big-Oh表示法，我会写O(n²)，因为可以忽略-3n。

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只是对问题中的测试进行了更正：外部循环执行n次，外部循环上每次迭代的内部(n-3)次。

Answer 2

复杂性不一定是O（n ^ 2）。它实际上取决于“......”中发生的事情。如果内循环中的东西具有O（1）复杂度，则是，整体复杂度为O（n ^ 2）。 原因是因为在外循环的任何迭代中，你都有内循环的n-3次迭代。内循环的每次迭代都有1个主体的执行，我们假设它是O（1）。所以，你最终得到身体的n *（n-3）次执行。如果我们假设主体是O（1），那么整个事物的复杂性就是O（n *（n-3））= O（n ^ 2）。

Answer 3

记住Crom所说的：它取决于省略号中的内容。我可能会滥用这种符号，但我认为你可以说这是 O（mn ² ），其中 m 是一个限制的函数省略号中任何内容的增长（它可能与 n 有关，但我们不知道这一点。）

您没有具体询问此部分，但请确保您清楚 n ² - 3n 为 O（n ² ）。看看big-O的定义，它说 n ² - 3n≤cn ² ，其中 c 是我们选择的常数。当 c = 2 时，我们可以重写为 n ² - 3n≤n ² + n ² ，这显然是正确的。

Answer 4

通常，嵌套for循环的构造是O（n ^ 2），但也有一些例外。在计算机图形学中，通常会看到如下内容：

for (int x=0; x < width; x++) {
  for (int y=0; y < height; y++) {
    // Do something on a specific pixel in the image in constant time
  }
}

并且在O（n ^ 2）上看到它被称为O（n），因为假设n是某些上下文中的像素数，而不是图像的线性大小。因此，“n ^ 2”已被考虑在内。可能存在其他特定于域的上下文，其中“n”的接受定义可能不会立即从查看代码中立即显现出来。

Answer 5

感谢回复，我现在可以看到内部循环执行n-3次，因为j从3开始。外部循环像往常一样执行n次。对于那些我把问题写得不好而感到困惑的人来说，问题是如何给出的。我三重检查，它正是我写它的方式。非常感谢您的帮助！

Answer 6

形式上，您可以使用Sigma Notation获取确切的迭代次数，从而确定增长的顺序。