查找给定矩形内不与任意形状相交的所有矩形

Question

我需要找到一个算法来找到给定矩形R中的最少个重叠矩形，它们与一组其他矩形的并集不相交在R内。这些内部矩形可以重叠。这是一个示例R的可怕的ASCII绘图：

A-----------------B-------------------------+
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|                 +--------+                |
|                 |........|                |
|                 |........|                |
C             +---D........|                |
|             |.........+--+                |
|             |.........|                   |
|             ++........+------+            |
|              |...............|            |
G              +---H...........|            |
|                  |...........|            |
|                  |...........|            |
|                  |...........|            |
|                  +-----------+            |
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E-------------I----F------------------------+

这里的矩形包括（A，D），（A，I），（G，F）。这似乎是一个解决方案很容易理解的问题，但我只是缺乏词汇量。任何答案，指针，RTFM都乐呵呵地接受。谢谢！

编辑：根据@Paul在下面的观察，我要做的是找到一组覆盖R中空间的矩形，而不覆盖由内部集合组成的任何多边形。如果这是有道理的。

Answer 1

我相信这是一种可能的解决方法。

我将重叠的矩形称为“白色”，将解决方案中的矩形称为“黑色”

首先，我们假设我们有一个适合在交叉点上搜索的数据结构。一个可能的数据结构是Interval Tree，使用其中一个坐标上的点作为间隔（例如，如果矩形由两个点（x0，y0）和（x1，y1）定义，则使用（x0，y1）作为间隔。该链接还解释了如何扩展到更高的维度（在您的情况下，您需要2）。

我不会详细介绍这种数据结构的实现，但我们假设我们有一个名为Rectangles，并定义了以下API：

• void add(Rectangle r)
• void remove(Rectangle r)
• Rectangle[] getIntersecting(Rectangle r)
• Rectangle[] getAdjacent(Rectangle r)

好的，现在创建两个名为Rectangles和black的{​​{1}}个实例。使用所有白色矩形初始化white。具有white矩形（整个域）的Initializie black。

1. 对于R中的每个矩形rw，获取黑色交叉矩形的数组white。
2. 对于arr中的每个矩形rb，确定black的结果。这是0,1,2,3或4个矩形的集rw-rb，具体取决于两个矩形的交叉方式。
3. 从set移除rw，并向其添加white的内容。这可能需要将set中的矩形与set中已有的矩形合并，如果这样的矩形一起形成一个更大的矩形（它们相邻共享一侧）
4. 从white
中移除rb
5. 从1开始重复，直到black
中没有更多的矩形

Answer 2

使用一些基本的数学，我们可以说你的问题的解决方案是直线多边形R \ union(rs)的分解，其中union(rs)表示R内的多边形。可以使用Greiner-Hormann-algorithm计算R \ union(rs)。请注意，此步骤将生成带孔的多边形，并且 - 仅当内部多边形包含孔时 - 多个其他多边形。分解描述为here（这只是一种近似，但到目前为止我无法找到精确的算法）。