如何检查一个点是在一个方向椭圆体内？

Question

对于形式为

的椭圆体

使用方向向量并居中于点，如何查找点是否在椭球内？

另外注意几何实际上是a = b（球体），因此一个轴足以定义方向

注意：我在论坛中看到了类似的问题。但是，它是关于原点上的椭球，没有任意方向，这里考虑了任意位置和方向。

Answer 1

找到仿射变换M，它将这个椭圆转换为面向轴的椭圆（通过-p和旋转平移以对齐方向矢量r和正确的坐标轴）。
然后将此变换应用于点p并检查p'是否位于轴向椭球内，即
x^2/a^2+ y^2/b^2+z^2/c^2 <= 1

Answer 2

创建一个坐标系E，其中心位于p，椭圆的长轴与r对齐。创建一个矩阵，可以将全局坐标转换为坐标系E。然后将变换后的坐标放入椭圆方程中。

Answer 3

中心点 p 和“方向矢量” r 不足以完全指定椭圆体的位置，剩下一个自由度。你的问题是不确定的。

Answer 4

如果矢量r是从原点到极点的单位矢量，则测试点q是否在椭圆中（或在椭圆上）是：

v = q-p;  // 3d vector difference
dot = v.r; // 3d dot product
f = dot*dot;  
g = v.v - f; // 3d dot product and scalar subtraction
return f/(b*b) + g/(a*a) <= 1

请注意，如果对齐椭圆使得r是z单位向量，则上面的测试转换为通常的测试，以包含椭圆中的点。