楼层求和算法

Question

是否有可以计算的快速算法

？ p，q，k，l，A和B是整数。 “快”是指它应该比简单的O（B-A）循环快得多。

相关： 如果我们设置k = 0，则有一个O（log（p）+ log（q））算法可以解决问题。

Answer 1

这是时间O（q）的解决方案。 （我假设p和q是相对素数，否则你应该先减少分数。）

对于[A，A + q]范围内的每个整数r，您可以确定

的值

floor [p*(A+r)/q + k/l]

让它为n（r）。然后你可以重新表达你的总和

sum_{r=0}^{q} sum_{y=0}^{y_max(r)} (n(r)+p*y),

，其中

y_max(r) = floor[ (B-A)/q ]  

现在每个内部和可以在O（1）中计算，因为它是完全显式的，并且总共得到O（q）。