Question

我如何证明Fractional Knapsack展示贪婪策略，

我几乎可以做到，但我无法在理论上找到一种方法来证明它。？

请帮忙在此先感谢

Answer 1

（原始）分数背包LP

maximize sum_{i=1}^n v_i x_i
subject to
y: sum_{i=1}^n w_i x_i <= W
z_i: x_i <= 1  (for i=1 to n)
x_i >= 0  (for i=1 to n),

其中v_i是项i的值，w_i是权重。双LP是

minimize W y + sum_{i=1}^n z_i
subject to
x_i: w_i y + z_i >= v_i
y >= 0
z_i >= 0  (for i=1 to n).

通过（弱）LP二元性，如果对原始的贪心解决方案具有与对偶的解决方案相同的目标，那么两者都是最优的。假设所有权重都是正数，它们的总和大于W，并且该项目的排序是v_1/w_1 >= v_2/w_2 >= ... >= v_n/w_n。让j成为枢轴项，以便贪婪的原始解决方案

x_1, x_2, ..., x_{j-1} = 1
x_j = (W - sum_{i=1}^{j-1} w_i) / w_j
x_{j+1}, x_{j+2}, ..., x_n = 0.

通过互补的松弛，我们可以猜测，在双重中，我们应该

z_j, z_{j+1}, ..., z_n = 0.

双重中的x_i约束相当于

y + z_i/w_i >= v_i/w_i,

所以我们需要设置

y >= v_j/w_j >= v_{j+1}/w_{j+1} >= ... >= v_n/w_n

为了满足我们归零z_i的约束。在预感中，我们设置了

y = v_j/w_j,

直观地强制分配

z_i = (v_i/w_i - v_j/w_j) w_i  (for i=1 to j-1).

现在，这个论点的唯一部分需要严格：验证这是双重的可行解决方案（繁琐且因此留作练习）并且目标与贪婪的原始解决方案相匹配。目标是

W y + sum_{i=1}^{j-1} z_i =
W (v_j/w_j) + sum_{i=1}^{j-1} (v_i/w_i - v_j/w_j) w_i =
sum_{i=1}^{j-1} (v_i/w_i) w_i + (v_j/w_j) (W - sum_{i=1}^{j-1} w_i) =
sum_{i=1}^{j-1} v_i + ((W - sum_{i=1}^{j-1} w_i) / w_j) v_j,

这确实是最初的目标。

Answer 2

我们需要证明这个问题有贪婪的选择属性。为此，我们需要证明，在使用X交换某些选项后，任何不包含贪婪选项a的解决方案a都没有得到更糟糕的解决方案。

对于分数背包，这很容易展示：我们采用X的任何元素，比如b。如果w _a＆gt; = w'_b（其中w _a是a的权重，w'_b是解b）中的权重X，我们可以将b替换为a的尽可能大的一部分。因为a是具有最大值密度的项目（这是我们贪婪的选择），所以这不会使解决方案变得更糟。如果w _a＆lt; w'_b我们可以取所有a，并使w'_b = w'_b - w _{a 。同样，因为a具有最大的值密度，所以这不会使解决方案变得更糟。}

就是这样！我们在技术上也需要显示最佳子结构，但这对于这个问题应该是相当简单的。

如何证明分数背包展示贪婪策略。？

2 个答案: