如何证明这种贪心算法是最优的？

Question

问题听起来像这样：我们得到n个立方体。每个立方体都有一个长度（边长）和一个颜色。边缘的长度是不同的，但是例如，culours不是：任何两个立方体不能具有相同的长度，但可以具有相同的颜色。颜色从1到p（给出p）。

我们必须按照以下规则建造一个具有最大高度的立方体塔：

1）如果立方体具有相同的颜色，则不能将立方体放置在立方体上;

2）立方体不能放在边长较小的立方体上。

例如：cube c1的长度为3，cube c2的长度为5. cube c1可以放在c2的顶部，但是c2的顶部不能放置c1。

好吧，所以我提出的算法是为了解决这个问题：

1. 我们按边长按降序排序立方体，然后将它们放在一个数组中;
2. 我们将数组中的第一个立方体添加到塔中;
3. 我们在变量l中保存最后插入的多维数据集的长度（在本例中，第一个多维数据集的长度）;
4. 我们在变量c中保存最后插入的多维数据集的颜色（在这种情况下，第一个多维数据集的颜色）;
5. 我们遍历数组的其余部分，插入长度小于l且颜色不同于c的第一个立方体，然后我们重复3-4-5;

现在我遇到的困难是，如何证明这种贪心算法是最优的？我猜这个证据必须看起来像这里的那些：http://www.cs.princeton.edu/~wayne/kleinberg-tardos/pdf/04GreedyAlgorithmsI-2x2.pdf

Answer 1

问题是：

• 是否存在选择最大长度立方体不是最佳的情况？

在每个决策节点，我们必须决定选择 a 或 b ，给定 a＆gt; b ：

假设选择b是严格最优的（暗示最大高度）：

• 案例1： col(a) == col(b)
• b optimal => final tower: b, x0, x1, ...
• 但也适用于身高相同的建筑：a, x0, x1, ...
• 有效，因为：col(a) == col(b)，(a > b) & (b > x0) => (a > x0)（及物性）

• 矛盾！

• 案例2 col(a) != col(b)

• b optimal -> final tower: b, x0, x1, ...
• 但也有效建筑，身高更高：a, b, x0, x1, ...
• 有效，因为：(a > b) & (col(a) != col(b)) => a before b
• 矛盾！

我们假设采摘b是严格优化的并且表现出矛盾。挑选b只能与选择a（剩余的最大长度立方体）同样好或更差。