Question

我正在尝试找到二叉搜索树的定义，并且我一直在寻找不同的定义。

有人说，对于任何给定的子树，左子键小于或等于根。

有人说，对于任何给定的子树，正确的子键大于或等于根。

我的旧大学数据结构书中说“每个元素都有一个键，没有两个元素具有相同的键。”

是否存在bst的通用定义？特别是关于如何处理具有相同密钥的多个实例的树。

编辑：也许我不清楚，我看到的定义是

1）left＆lt; = root＆lt;右

2）左＆lt; root＆lt; = right

3）左＆lt; root＆lt;是的，这样就不存在重复的密钥。

Answer 1

许多算法都会指定排除重复项。例如，MIT算法书中的示例算法通常提供没有重复的示例。实现重复（在节点上或在一个特定方向上作为列表）是相当简单的。）

大多数（我见过）将左边的孩子指定为＆lt; =和将右边的孩子指定为＆gt;。实际上，允许右子节点或左子节点等于根节点的BST将需要额外的计算步骤来完成允许重复节点的搜索。

最好利用节点上的列表来存储重复项，因为在节点的一侧插入“=”值需要重写该侧的树以将节点作为子节点放置，或者放置节点作为一个大孩子，在某些点下面，这消除了一些搜索效率。

您必须记住，大多数课堂示例都经过简化，以描绘和传达概念。在许多现实世界的情况下，他们不值得蹲下。但是声明“每个元素都有一个键，没有两个元素具有相同的键”，在元素节点上使用列表不会违反。

请继续阅读您的数据结构书所说的内容！

编辑：

二进制搜索树的通用定义涉及基于在两个方向之一上遍历数据结构来存储和搜索密钥。从语用意义上讲，这意味着如果值为＆lt;＆gt;，则以两个“方向”之一遍历数据结构。因此，从这个意义上讲，重复的值根本没有任何意义。

这与BSP或二进制搜索分区不同，但并非完全不同。搜索算法有“旅行”的两个方向之一，或者已经完成（成功与否）。所以我很抱歉我的原始答案没有解决“通用定义”的概念，因为重复实际上是一个独特的主题（成功搜索后处理的内容，而不是二分查找的一部分。）

Answer 2

如果您的二叉搜索树是红黑树，或者您打算进行任何类型的“树旋转”操作，则重复的节点将导致问题。想象一下你的树规则就是这样：

左＆lt; root＆lt; = right

现在想象一个简单的树，其根为5，左子为零，右子为5.如果在根上进行左旋转，则最终在左子项中为5，在根中为5正确的孩子是零。现在，左侧树中的某些内容等于根，但上面的规则假定为左侧＆lt;根

我花了好几个小时试图弄清楚为什么我的红/黑树偶尔会出现故障，问题就在我上面所说的。希望有人能够阅读此内容并在将来节省自己的调试时间！

Answer 3

这三个定义都是可以接受和正确的。它们定义了BST的不同变体。

您的大学数据结构的书未能澄清其定义不是唯一可能的。

当然，允许重复会增加复杂性。如果您使用定义“left＆lt; = root＆lt; right”并且您有一棵树：

      3
    /   \
  2       4

然后在此树中添加“3”重复键将导致：

请注意，重复项不是连续的。

当允许BST表示中的重复项如上所述时，这是一个很大的问题：重复项可能被任意数量的级别分开，因此检查重复项的存在并不像检查节点的直接子项那么简单。 / p>

避免此问题的一个选项是不在结构上表示重复项（作为单独的节点），而是使用计数器来计算键的出现次数。之前的示例将具有如下树：

      3(1)
    /     \
  2(1)     4(1)

并且在插入复制的“3”键后，它将变为：

      3(2)
    /     \
  2(1)     4(1)

这简化了查找，删除和插入操作，但代价是一些额外的字节和计数器操作。

Answer 4

在BST中，节点左侧下降的所有值都小于（或等于，稍后参见）节点本身。同样，节点右侧下降的所有值都大于（或等于）节点值^（a）。

有些BST可能会选择允许重复值，因此上面的“或等于”限定词。

以下示例可能会澄清：

            |
      +--- 14 ---+
      |          |
+--- 13    +--- 22 ---+
|          |          |
1         16    +--- 29 ---+
                |          |
               28         29

这显示允许重复的BST - 您可以看到要查找值，您可以从根节点开始，然后根据您的搜索值是否小于或大于节点值向下或向右或向下移动子树。

这可以通过以下方式递归完成：

def hasVal (node, srchval):
    if node == NULL:
         return false
    if node.val == srchval:
        return true
    if node.val > srchval:
        return hasVal (node.left, srchval)
    return hasVal (node.right, srchval)

并用：

调用它

foundIt = hasVal (rootNode, valToLookFor)

重复项会增加一点复杂性，因为一旦找到相同值的其他节点的值，您可能需要继续搜索。

^（a）如果您愿意调整搜索特定键的方式，实际上可以按相反方向对它们进行排序。 BST只需要保持一些排序顺序，无论是升序还是降序都不相关。

Answer 5

在Cormen，Leiserson，Rivest和Stein的书＆＃34;算法简介＆＃34;第三版中，二叉搜索树（BST）被明确定义为允许重复。这可以在图12.1和以下（第287页）中看到：

＆＃34;二叉搜索树中的键总是以满足binary-search-tree属性的方式存储：让x成为二叉搜索树中的节点。如果y是x左子树中的节点，则为y:key <= x:key。如果y是x右侧子树中的节点，则为y:key >= x:key。＆＃34;

此外，第308页上定义了一个红黑树：

＆＃34;红黑树是一个二元搜索树，每个节点有一个额外的存储空间：它的颜色＆＃34;

因此，本书中定义的红黑树支持重复。

Answer 6

使用红黑树实现我遇到了用多个键验证树的问题，直到我意识到使用红黑插入旋转，你必须放松约束

left <= root <= right

由于我所看到的文档都没有允许重复键，我不想重写旋转方法来解释它，我只是决定修改我的节点以允许节点内的多个值，而不是树中的重复键。

Answer 7

我只想向@Robert Paulson回答添加更多信息。

让我们假设节点包含密钥和数据。因此，具有相同密钥的节点可能包含不同的数据。
（因此搜索必须找到具有相同键的所有节点）

左<= cur <右

左

左<=当前<=右

left 兄弟节点。

left

如果树没有任何与旋转相关的功能以防止偏斜，则

1和2可以正常工作。
但是这种形式不适用于 AVL树或红黑树，因为旋转会破坏本金。
并且即使search（）找到具有键的节点，它也必须遍历到具有重复键的节点的叶节点。
使搜索的时间复杂度= theta（logN）

3.可以与具有旋转功能的任何形式的BST配合使用。
但是搜索将使用 O（n），从而破坏了使用BST的目的。
假设我们有下面的树，其中有3）主体。

12 / \ 10 20 / \ / 9 11 12 / \ 10 12

如果我们在这棵树上进行 search（12），即使我们在根上找到了12，也必须同时搜索左右子节点以寻找重复的密钥。
正如我所讲，这需要O（n）时间。

4.是我个人的最爱。假设 sibling 表示具有相同密钥的节点。
我们可以将上方的树更改为下方的树。

12 - 12 - 12 / \ 10 - 10 20 / \ 9 11

现在，任何搜索都将使用O（logN），因为我们不必遍历子级来获取重复的键。
而且此主体也可以与 AVL 或 RB树一起使用。

Answer 8

任何定义都有效。只要你在实现中保持一致（总是将相同的节点放在右边，总是将它们放在左边，或者永远不允许它们）那么你就没事了。我认为最常见的是不允许它们，但如果它们被允许并且向左或向右放置它仍然是BST。

Answer 9

你说的那三件事都是真的。

密钥是唯一的
左边是小于这个的小键
右侧是大于此的键

我想你可以反转你的树并将较小的键放在右边，但实际上“左”和“右”的概念就是这样：一个视觉概念来帮助我们思考一个不真实的数据结构有一个左或右，所以它并不重要。

Answer 10

1。）left＆lt; = root＆lt;右

2。）左＆lt; root＆lt; = right

3。）左＆lt; root＆lt;是的，这样就不存在重复的密钥。

我可能不得不去挖掘我的算法书籍，但我的头脑（3）是规范形式。

（1）或（2）只有当您开始允许重复节点和时才会在树本身中放置重复节点（而不是包含列表的节点）。

Answer 11

元素排序关系＆lt; =是total order所以关系必须是自反的，但通常二元搜索树（又名BST）是没有重复的树。

否则如果有重复项，则需要运行两次或更多次相同的删除功能！

Answer 12

重复密钥 •如果有多个数据项，会发生什么同样的钥匙？ - 这在红黑树中存在轻微问题。 - 分配具有相同密钥的节点非常重要其他节点的两侧都有相同的密钥。 - 也就是说，如果钥匙按照50,50,50的顺序到达， •你希望第二个50到第一个的右边，然后是第三个50到第一个左边。 •否则，树变得不平衡。 •这可以通过某种随机化来处理插入算法中的过程。 - 但是，如果搜索过程变得更加复杂必须找到具有相同密钥的所有项目。 •使用相同的密钥禁止项目更简单。 - 在本次讨论中，我们假设不允许重复

可以为树的每个节点创建一个链表，其中包含重复键并在列表中存储数据。

二叉搜索树的定义中是否允许重复键？

12 个答案: