Question

您遇到了SPOJ上的问题（http://www.spoj.com/problems/QCJ3/）。我试图将此问题映射到Grundy数字，然后映射到Sprague-Grundy + NIM桩。我可以推断出以下内容......

如果任何位置/位置（1,2,3,4 ......）只放置偶数硬币，则第一位玩家总是会失去。
如果奇数硬币只放在任何地方的1个位置，甚至硬币放在第一个玩家获胜的任何地方。
根据放置在位置（1,2,3，... k-1）的硬币，硬币在第K个位置的移动可以达到任何（下一个）状态，具体取决于放入的硬币数量以前的职位。我发现难以映射到Grundy Numbers + Sprague-Grundy + NIM桩。

***我确实看到了一个代码，通过执行XOR（放置奇数硬币的位置）来达到解决方案。如果这种方法产生正确的结果（当然我没有提交，因为我不明白“为什么？”）这种方法背后的逻辑是什么。

Answer 1

在位置x处使用单个硬币考虑游戏。

这与使用大小为x的堆播放Nim相同。

现在整个游戏可以被视为一组游戏，每个游戏一个。 Sprague-Grundy理论有一个标准结果，即一组游戏的价值是各个游戏价值的异或。

换句话说，这个游戏相当于Nim，你在x位置的每个硬币都有一堆x大小。解释了Nim的XOR解决方案here。

Answer 2

此问题映射到NIM，因此使用XOR解决，因为这是NIM的解决方案： http://www.scribd.com/doc/61249180/Game-Theory-Intro-Ak#scribd

想法：位置P处的每块石头对应于NIM中的大小为P的堆
  r = x ^ x ^ x ^ x。。。。。 ^ x（n次）
    - n even：r = 0
    - n odd：r = x

在这种方法中，如果位置 n 处有 x 个宝石，那么 n 会被异或 x 次因为每块石头对应的堆大小为n。

一个简单的实现：

scanf("%d",&n);
r=0; 
for(i=1;i<=n;i++)
{
    scanf("%d",&x);
    if(x&1) r ^= i;
}
puts(r==0?"Hanks Wins":"Tom Wins");