如何在连续的二维矩阵中找到曼哈顿距离？

Question

假设我的矩阵是

7 1 2
3 5 6
4 8 9

目标配置按如下方式排序：

1 2 3
4 5 6
7 8 9

使用曼哈顿距离算法我可以计算“7”到目的地的距离为2步，但矩阵是连续的，即我可以在两个方向上移动行和列，所以“7”距离目的仅一步正确的位置。

如何修改曼哈顿距离算法以反映该属性？

谢谢。

Answer 1

在通常的情况下，也就是没有环绕的网格，我们将曼哈顿距离定义为i, j到r, c

abs(r-i) + abs(c-j)

其中abs表示绝对值。

在n水平线（行）和m垂直线（列）的环绕网格中，我们可以将曼哈顿距离计算为

min(abs(r-i), n-1-abs(r-i))  +  min(abs(c-j), m-1-abs(c-j))

其中min是至少取两个值的函数。

这个公式背后的原因是从第一行到最后一行的距离是n-1。如果我们在任意两行之间有一个直接距离d，则环绕距离e就是这样的值：

d + e = n-1

e = n-1 - d

现在两行之间的距离是直接距离和环绕距离的最小值。我们同样争论列之间的距离。曼哈顿距离只是行之间距离和列之间距离的总和。

请考虑以下示例，其中我们有n = 8行和m = 10列。我们想要计算从(2, 7)到(5, 1)的曼哈顿距离。

没有环绕，曼哈顿距离是：

abs(r-i) + abs(c-j)

= abs(5-2) + abs(1-7)

= abs(3) + abs(-6)

= 3 + 6

= 9

环绕式，曼哈顿距离为：

min(abs(r-i), n-1-abs(r-i))  +  min(abs(c-j), m-1-abs(c-j))

= min(3, 7-3) + min(6, 9-6)

= min(3, 4) + min(6, 3)

= 3 + 3

= 6