MATLAB：Verlet算法 -

Question

以下是我的主要脚本调用的Verlet函数代码。

% verlet.m
% uses the verlet step algorithm to integrate the simple harmonic
% oscillator.

% stepsize h, for a second-order ODE

function vout = verlet(vinverletx,h,params)

% vin is the particle vector (xn,yn)
x0 = vinverletx(1);
x1 = vinverletx(2);


% find the verlet coefficients (F=0)
D = (2*params(1))+(params(3)*h);
A = (2/D)*((2*params(1))-(params(2)*h^2));
B=(1/D)*((params(3)*h)-(2*params(1)));

x2 = (A*x1)+(B*x0);

vout = x2;

% vout is the particle vector (xn+1,yn+1)
end 

我制作了一个脚本来测试这个功能。上下文是简单的谐波运动，与其他算法相比，Verlet算法将进行相对精确度的测试。

这是我的测试脚本：

% verlet test
clear all
close all

% don't define fixed paramaters every loop
h = 0.001;
m = 7.4; % Mass
k = 7.7; % Return force
b = 0; % Drag
params = [m,k,b];


% verlet
x=2; % define initial values and put into vector form
v=0;
vin = [x,v];
vstorex = vin(1);
vstorev = vin(2);

for n=1:200
   if n == 1 
      vnext = eulerintegrate(vin,n,h,params); % the next position and velocity
      vstorex = [vstorex;vnext(1)]; %#ok<*AGROW> % store xn and vn+1
      vinverletx = [vin(1),vnext(1)]; % now we have two x values for the verlet algorithm!
   else if n ==2
      xnext=verlet(vinverletx,h,params);
      vstorex = [vstorex;xnext];
       else
            vinverletx = [vstorex(n),vstorex(n-1)];
            xnext=verlet(vinverletx,h,params); 
            vstorex = [vstorex;xnext];
       end
   end
end

plot(vstorex);

对于200步的0.001步长 - http://i.imgur.com/GF2Zdvu.png

，产生的情节大幅爆发

这是200次0.0001步长：http://i.imgur.com/u0zCUWS.png

正如你可以轻易说出的那样，它同样会爆炸。我的代码中一定存在问题（我无法看到）。

提前致谢！

Answer 1

您的微分方程为x''=a(x)=-k/m*x，具有基本Verlet方法的中点公式

x0-2*x1+x2= h*h*a(x1)

你得到了

x2 = -x0+(2-h*h*k/m)*x1

要获得正确的错误顺序，您需要尽可能最佳的初始化，即

x1 = x0 + v0*h + 0.5*a(x0)*h*h

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在存在拖动的情况下，您无法使用Verlet方法。或者至少你不能指望它有广告属性。那些只适用于保守系统，其中力来自潜在的领域，而且仅来自那个。

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错误

在过程中，您希望这两个值增加索引顺序。在函数调用中，您以递减索引顺序构造输入。除了纠正这个错误，我会改变整个循环以简化它

vin = [x,v];
vnext = eulerintegrate(vin,n,h,params); % the next position and velocity
vstorex = [vin(1), vnext(1)]; % or to the same effect: [x, x+h*v]


for n=2:200
   vinverletx = [vstorex(n-1),vstorex(n)];
   xnext=verlet(vinverletx,h,params); 
   vstorex = [vstorex;xnext];
end