Question

这是我关于stackoverflow的第一个问题。我一直在解决＃34;算法设计＆＃34;作者：古德里奇，塔玛西亚。但是，我对这个问题一无所知。 Unusre从哪里开始以及如何继续。任何建议都会很棒。这就是问题所在：

布尔矩阵是矩阵，每个条目为0或1，矩阵乘法通过使用AND表示*和OR表示+。假设我们给出了两个NxN随机布尔矩阵A和B，以便任何条目的概率在任何一个是1，是1 / k。证明如果k是常数，那么有一个算法用于乘以A和B，其预期运行时间为O（n ^ 2）。如果k是n，怎么办？

Answer 1

使用标准迭代方法的矩阵乘法是O（n ³），因为你必须迭代n行和n列，并且对于每个元素执行一个向量乘以其中一行和其中一列，需要n次乘法和n-1次加法。

Psuedo代码将矩阵a乘以矩阵b并存储在矩阵c：

中

for(i = 0; i < n; i++)
{
    for(j = 0; j < n; j++)
    {
        int sum = 0;
        for(m = 0; m < n; m++)
        {
            sum += a[i][m] * b[m][j];
        }
        c[i][j] = sum;
    }
}

对于布尔矩阵，如问题中指定的那样，使用AND 乘法的位置和OR代替加法，所以它变成了这样：

for(i = 0; i < n; i++)
{
    for(j = 0; j < n; j++)
    {
        boolean value = false;
        for(m = 0; m < n; m++)
        {
            value ||= a[i][m] && b[m][j];
            if(value)
                break; // early out
        }
        c[i][j] = value;
    }
}

这里要注意的是，一旦我们的布尔＆＃34;总和＆＃34;是的，我们可以停止计算并提前退出最内层的循环，因为将任何后续值与OR进行或运算将产生真，所以我们可以立即知道最终结果是真的。

对于任何常量k，我们可以提前做出的操作数（假设值是随机的）将取决于k并且不会随n增加。在每次迭代时，循环将有一个（1 / k）²的可能性，因为我们需要两个1才能发生这种情况，每个条目为1的概率为1 / k。终止前的迭代次数将遵循Geometric distribution，其中p是（1 / k）²，以及预期的＆＃34;试验次数＆＃34; （迭代）之前＆＃34;成功＆＃34; （断开循环）并不依赖于n（除了作为试验次数的上限），因此对于给定的k，最内层循环以恒定时间（平均）运行，使得整个算法O（ ñ²）。如果k = n，几何分布公式应该可以让您了解会发生什么。请注意，在维基百科上给出的公式中，k是试验次数。

布尔矩阵乘法算法

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